📄 اطبع pdf
00971504825082

<<< طاقة الوضع والجهد الكهربائي >>>

الجهد الكهربائي للتوزيعات المختلفة للشحنات

الجهد : هو الشغل اللازم لنقل شحنة اختبار من اللانهاية الى النقطة المطلوبة مقسوما على شحنة الاختبار \[∆V=V_f-V_i=-\frac{W_{∞→r}}{q}=-\int_{{\,∞}}^{{\,r}}\frac{\vec F .ds}{q}=-\int_{{\,∞}}^{{\,r}}\frac{ q.\vec E .ds}{q}\] \[∆V=-\int_{{\,∞}}^{{\,r}}{ \vec E .ds}=-\int_{{\,∞}}^{{\,r}}{ \frac{kq}{r^2} .dr}= -k.q\int_{{\,∞}}^{{\,r}}{ \frac{1}{r^2} .dr}= \frac{k.q}{r}\] \[∆V=V_r-V_∞=V_r-0=\frac{k.q}{r}\] \[V_r=\frac{k.q}{r}\]

\[3 \star\]

في الشكل أدناه شحنتين \[q_1= -4 \;\;nC\;\;\;,\;\;\;q_2=6\;\;nC\] الشحنة الأولى سالبة وضعت عند نقطة الأصل والشحنة الثانية موجبة وضعت عند نقطة تبعد عن نقطة الأصل \[0.4\;\;m\] نقطة انعدام الجهد على امتداد الخط الواصل بين الشحنتين تقع عند الموقع

أختر الإجابة الصحيحة

---

A

\[X=-0.18\;\;m \]

B

\[ X=-0.8 \;\;m\]

C

\[X=-0.4 \;\;m\]

D

\[X=-0.14 \;\;m\]

اضغط هنا تظهر طريقة الحل

مثال محلول

( λ= 4×10^-8C/m ) سلك مشحون بشكل منتظم على امتداد طولة كثافة الشحنة تعادل
( R ) تم ثنيه على شكل نصف دائرة نصف قطرها
احسب جهد نقطة في مركز انحناء السلك
الحل
\[V=\int_{{\,0}}^{{\,𝜋R}}\frac{K.dq}{R}\]\[V=\int_{{\,0}}^{{\,𝜋R}}\frac{K.λ.dL}{R}\] \[V=\frac{K.λ}{R}\int_{{\,0}}^{{\,𝜋R}}dL=\frac{K.λ}{R} |𝐿|_{{\,0}}^{{\,𝜋R}}=\frac{K.λ}{R}.[𝜋R-0]\] \[V=K.λ.𝜋\]\[V=9×10^9×4×10^{-8}×𝜋=1131 V\] فرق الجهد بين نقطتين

يعرف فرق الجهد بين نقطتين : بأنه الشغل المبذول لنقل وحدة الشحنة من إحدى النقطتين إلى النقطة الأخرى \[∆V=V_f-V_i=\frac{U_f}{q}-\frac{U_i}{q}=\frac{∆U}{q}\] \[∆V=-\frac{ W_{A→B}}{q}\] مثال محلول

بروتون تحرك بين نقطتين في مجال كهربائي فإذا بدء بسرعة قدرها عند النقطة \[A\]\[v=40 \frac{m}{s}\] (B ) و أصبحت سرعته عند النقطة \[v=10^4\frac{m}{s}\] احسب فرق الجهد بين النقطتين علما بأن \[q_p=1.6×10^{-19}C , m_p=1.67×10^{-27}kg\]

الحل

\[∆k=k_f-k_i=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2\] \[∆k=\frac{1}{2}×1.67×10^{-27}×(10^4)^2 -\frac{1}{2}×1.67×10^{-27}×(40)^2 =8.34×10^{-20}\frac{Kg.m^2}{s^2}\]

\[∆k=W\]

\[∆V=-\frac{W}{q}=-\frac{8.34×10^{-20}}{1.6×10^{-19}}=-0.52 V\]

مسألة فيزياء: الشحنات الكهربائية

مثال محلول

شحنة موجبة مقدارها \[+4.50 μC \]ثابتة في مكانها. أُطلق جسم كتلته \[6.00 g\] وشحنته \[+3.00 μC\] بسرعة ابتدائية مقدارها \[66.0 m/s\] مباشرة باتجاه الشحنة الثابتة من مسافة \[4.20 cm\]

إلى أي مدى تقترب الشحنة المتحركة من الشحنة الثابتة قبل أن تصل إلى وضع السكون وتبدأ في الابتعاد عنها؟

الحل

بما أن الشحنتين موجبتان، فإن القوة بينهما قوة تنافر. نستخدم قانون حفظ الطاقة:

\[ Ki + Ui = Kf + Uf\]

عند أقرب نقطة تكون السرعة النهائية صفرًا، أي:

\[Kf = 0\]

الطاقة الحركية الابتدائية

\[ Ki = ½ m v²\] \[ Ki = ½ × 0.006 × (66)² = 13.07 J\]

طاقة الوضع الكهربائية

\[U =\frac { k q₁ q₂ }{ r}\] \[ k = 9 × 10⁹\] \[Ui = \frac {9 × 10⁹ × 4.5 × 10⁻⁶ × 3.0 × 10⁻⁶}{ 0.042 }= 2.89 J\] \[ Uf = \frac {9 × 10⁹ × 4.5 × 10⁻⁶ × 3.0 × 10⁻⁶}{r_{min} }\]

تطبيق قانون حفظ الطاقة

\[13.07 + 2.89 =\frac {9 × 10⁹ × 4.5 × 10⁻⁶ × 3.0 × 10⁻⁶}{r_{min} }\] \[r_{min}= 0.0076 m\] أقرب مسافة تقتربها الشحنة المتحركة هي
0.76 cm

الجهد الكهربائي لمجموعة من الشحنات النقطية

المفهوم الأساسي:

الجهد الكهربائي : عند نقطة ما في الفراغ هو مقدار الشغل اللازم لنقل شحنة موجبة وحدة اختبار من اللانهاية إلى تلك النقطة، دون تسارع.

أو الجهد الكهربائي : هو طاقة الوضع الكهربائية لوحدة الشحنة

حساب الجهد الكهربائي لشحنة نقطية واحدة:

\[ V =k *\frac { q }{ r}\]

حيث:
- k ثابت كولوم
\[k=(8.99×10^9)N.m^2/c^2\] - qمقدار الشحنة (كولوم)
- r المسافة من الشحنة إلى النقطة المدروسة (متر)

لعدة شحنات نقطية:

\[ V_{total} = Σ V_i = k Σ\frac {q_i}{r_i}\]

يتم حساب الجهد الكلي عن طريق الجمع الجبري للجهود الفردية لكل شحنة (مبدأ التراكب)

حاسبة الجهد الكهربائي

شحنة (µC): مسافة (m):

إضافة شحنة ➕ احسب الجهد ⚡

مثال محلول

في الشكل أدناه أوجد الجهد في منتصف المسافة بين الشحنتين

النقطة خاضعة لجهدين

جهد من الشحنة الأولى \[V_1=K.\frac{q_1}{r_1}=9×10^9\frac{-8×10^{-9}}{0.2}=-360 V\] جهد من الشحنة الثانية \[V_2=K.\frac{q_2}{r_2}=9×10^9\frac{-3×10^{-9}}{0.2}=-135 V\]

\[V_{net}=V_1+V_2=-360+(-135)=-495 V\]

نتيجة إذا كانت النقطة المطلوب حساب جهدها واقعة في مجال أكثر من شحنة يتم إيجاد المجموع الجبري للجهود الخاضعة لها النقطة \[V=K\sum \frac{q_i}{r_i}\]

\[2 \star\]

تم حساب الجهد عند النقطة
\[A\;\;\;\; V_A= -45 V \] وتم حساب المجال عند نفس النقطة فكانت قيمته \[E=112.5 \;\;N/C\] فإن مقدار ونوع الشحنة المؤثرة على تللك النقطة تعادل

أختر الإجابة الصحيحة

---

A

\[q= 4 × 10^{-9}\;C\]

B

\[ q= 2 × 10^{-9}\;C\]

C

\[q= -2 ×10^{-9}\;C\]

D

\[ q= -4 × 10{-9}\;C\]

اضغط هنا تظهر طريقة الحل

ايجاد المجال الكهربائي من الجهد الكهربائي من خلال الشغل \[dW=q.\vec E.\vec {dS}\] \[-q.dV=q.\vec E.\vec {dS}\] \[E=-\frac{dV}{dS}\] \[E_X=-\frac{dV}{dX}, E_Y=-\frac{dV}{dY} , E_Z=-\frac{dV}{dZ}\]
مثال محلول

الجهد الكهربائي لحيز من الفراغ يعطى بالعلاقة \[V(X,Y,Z)=5X^2+8XY+7Z\]
( 5,-2,-3 ) فإن قيمة المجال عند نقطة لها احداثيات
تعادل
الحل
\[E_X=-(\frac{dV}{dX})=-(\frac{5X^2+8XY+7Z}{dX})=-(10X+8Y)=-(10×5+8×-2)=-34\] \[E_Y=-\frac{dV}{dY}=-(\frac{5X^2+8XY+7Z}{dY})=-(8X)=-(8×5)=-40\] \[E_Z=-\frac{dV}{dZ}=-(\frac{5X^2+8XY+7Z}{dZ})=-7\] \[E(-34 X,-40Y,-7Z)\] \[E=\sqrt {34^2+40^2+7^2}=52.9 N/C\] طاقة الوضع لنظام من الشحنات النقطية من خلال تعريف الجهد \[V=\frac{U}{q}\]\[U=q.V=q.\frac{kQ}{r}\] \[U=k.\frac{Q.q}{r}\] ملاحظة :طاقة الوضع الكهربائية لشحنة ما في اللانهاية يساوي الصفر لدينا ثلاث شحنات موجودة على رؤوس مثلث قائم الزاوية كما في الشكل أدناه
المطلوب حساب طاقة الوضع للنظام المكون من ثلاث شحنات
في البداية نجعل الشحنات متباعدة في اللانهاية
نحضر الشحنة الأولى من اللانهاية طاقة الوضع لها وهي منفردة \[U=0\] (q1 ) عند إحضار الشحنة الثانية من اللانهاية بجوار \[U=K\frac{q_1.q_2}{r_1}\] ( q1, q2 )عند إحضار الشحنة الثالثة من اللانهاية بجوار \[U=K\frac{q_1.q_2}{r_1}+K\frac{q_1.q_3}{r_2}+K\frac{q_2.q_3}{\sqrt {{(r_1)^2}+{(r_2)^2}}}\] وهي عبارة عن طاقة الوضع الكهربائية للنظام

الجهد الكهربائي للتوزيعات المختلفة للشحنات

📝 أسئلة الاختيار من متعدد (10 أسئلة)

السؤال 1: إذا كانت شحنة نقطية مقدارها \[ q = 5 \times 10^{-9} C \]، فما هو الجهد الكهربائي عند نقطة تبعد عنها مسافة \[ r = 0.2 m \]؟ (خذ \[ k = 9 \times 10^9 N.m^2/C^2 \])

A

\[ 112.5 V \]

B

\[ 225 V \]

C

\[ 1125 V \]

D

\[ 22.5 V \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

الجهد الكهربائي لشحنة نقطية: \[ V = k\frac{q}{r} \]

\[ V = (9 \times 10^9) \times \frac{5 \times 10^{-9}}{0.2} \]

\[ V = \frac{45}{0.2} = 225 V \]

السؤال 2: شحنتان نقطيتان \[ q_1 = 3 \times 10^{-9} C \] و \[ q_2 = -4 \times 10^{-9} C \] تبعدان عن بعضهما \[ 0.4 m \]. ما هو الجهد الكهربائي عند نقطة منتصف المسافة بينهما؟

A

\[ -90 V \]

B

\[ -45 V \]

C

\[ 45 V \]

D

\[ 90 V \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

المسافة من كل شحنة إلى نقطة المنتصف = \[ 0.2 m \]

\[ V_1 = k\frac{q_1}{r} = 9\times10^9 \times \frac{3\times10^{-9}}{0.2} = 135 V \]

\[ V_2 = k\frac{q_2}{r} = 9\times10^9 \times \frac{-4\times10^{-9}}{0.2} = -180 V \]

الجهد الكلي: \[ V = V_1 + V_2 = 135 + (-180) = -45 V \]

السؤال 3: إذا كان الجهد الكهربائي عند نقطة بالقرب من شحنة نقطية هو \[ 500 V \] وكانت المسافة من الشحنة إلى النقطة \[ 0.1 m \]، فما مقدار الشحنة؟

A

\[ 5.56 \times 10^{-9} C \]

B

\[ 5.56 \times 10^{-10} C \]

C

\[ 1.8 \times 10^{-9} C \]

D

\[ 1.8 \times 10^{-10} C \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

من قانون الجهد: \[ V = k\frac{q}{r} \]

نعوض: \[ 500 = 9\times10^9 \times \frac{q}{0.1} \]

\[ 500 = 9\times10^9 \times q \times 10 \]

\[ 500 = 9\times10^{10} \times q \]

\[ q = \frac{500}{9\times10^{10}} = 5.56 \times 10^{-9} C \]

السؤال 4: إذا تحرك إلكترون من نقطة جهدها \[ 100 V \] إلى نقطة جهدها \[ 200 V \]، فما الشغل المبذول على الإلكترون؟ (علماً أن شحنة الإلكترون \[ q_e = -1.6 \times 10^{-19} C \])

A

\[ 1.6 \times 10^{-17} J \]

B

\[ -1.6 \times 10^{-17} J \]

C

\[ 3.2 \times 10^{-17} J \]

D

\[ -3.2 \times 10^{-17} J \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

الشغل = فرق طاقة الوضع = \[ q \times \Delta V \]

شحنة الإلكترون: \[ q = -1.6 \times 10^{-19} C \]

فرق الجهد: \[ \Delta V = V_f - V_i = 200 - 100 = 100 V \]

الشغل: \[ W = q \times \Delta V = (-1.6 \times 10^{-19}) \times 100 = -1.6 \times 10^{-17} J \]

الإشارة السالبة تعني أن الشغل يبذل على الإلكترون

السؤال 5: سلك مشحون بشكل منتظم كثافة الشحنة \[ \lambda = 2 \times 10^{-8} C/m \] ثني على شكل ربع دائرة. احسب جهد نقطة في مركز انحناء السلك. ( \[ k = 9 \times 10^9 N.m^2/C^2 \] )

A

\[ 180 V \]

B

\[ 565.5 V \]

C

\[ 282.7 V \]

D

\[ 7200 V \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

\[ V = \int_{0}^{\pi R/2} \frac{K \cdot dq}{R} = \int_{0}^{\pi R/2} \frac{K \cdot \lambda \cdot dL}{R} \]

\[ V = \frac{K \cdot \lambda}{R} \int_{0}^{\pi R/2} dL = \frac{K \cdot \lambda}{R} \times \frac{\pi R}{2} = \frac{K \cdot \lambda \cdot \pi}{2} \]

\[ V = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8} \times \pi}{2} = 282.7 V \]

السؤال 6: ما الشغل اللازم لنقل شحنة \[ q = 3 \times 10^{-6} C \] من نقطة جهدها \[ 50 V \] إلى نقطة جهدها \[ 150 V \]؟

A

\[ 3 \times 10^{-4} J \]

B

\[ -4.5 \times 10^{-4} J \]

C

\[ 4.5 \times 10^{-4} J \]

D

\[ -3 \times 10^{-4} J \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

الشغل = فرق طاقة الوضع = \[ q \times \Delta V \]

\[ \Delta V = V_f - V_i = 150 - 50 = 100 V \]

\[ W = q \times \Delta V = 3 \times 10^{-6} \times 100 = 3 \times 10^{-4} J \]

الإشارة الموجبة تعني أن الشغل يبذل على الشحنة

السؤال 7: أربع شحنات متساوية \[ q = 2 \times 10^{-9} C \] موضوعة على رؤوس مربع طول ضلعه \[ 0.1 m \]، ما الجهد الكهربائي في مركز المربع؟

A

\[ 720 V \]

B

\[ 1028 V \]

C

\[ 1440 V \]

D

\[ 509 V \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

المسافة من كل شحنة إلى المركز = نصف قطر المربع

نصف القطر = \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \times \text{طول الضلع} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0.1 = 0.0707 m \]

جهد كل شحنة في المركز: \[ V_i = k\frac{q}{r} = 9\times10^9 \times \frac{2\times10^{-9}}{0.0707} = 254.6 V \]

الجهد الكلي = \[ 4 \times 254.6 = 1028.4 V \]

السؤال 8: إذا كان المجال الكهربائي في منطقة معينة ثابتاً وقيمته \[ 1000 N/C \]، فما فرق الجهد بين نقطتين تبعدان \[ 0.05 m \] في اتجاه المجال؟

A

\[ -50 V \]

B

\[ 50 V \]

C

\[ 20 V \]

D

\[ -20 V \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

فرق الجهد في مجال كهربائي منتظم: \[ \Delta V = -E \cdot d \]

\[ \Delta V = -1000 \times 0.05 = -50 V \]

الإشارة السالبة تعني أن الجهد يقل في اتجاه المجال

السؤال 9: كرة موصلة نصف قطرها \[ 0.1 m \] وشحنتها \[ 5 \times 10^{-9} C \]، ما الجهد الكهربائي على سطح الكرة؟

A

\[ 45 V \]

B

\[ 450 V \]

C

\[ 900 V \]

D

\[ 225 V \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

للكرة الموصلة، الشحنة توزع على السطح

الجهد على السطح: \[ V = k\frac{Q}{R} \]

\[ V = 9\times10^9 \times \frac{5\times10^{-9}}{0.1} = 450 V \]

داخل الكرة الموصلة، الجهد ثابت ويساوي الجهد على السطح

السؤال 10: إذا كانت طاقة الوضع الكهربائية لنظام من شحنتين \[ 3 \times 10^{-6} J \]، وفرق الجهد بينهما \[ 150 V \]، فما مقدار كل شحنة إذا كانتا متساويتين؟

A

\[ 2 \times 10^{-8} C \]

B

\[ 1 \times 10^{-8} C \]

C

\[ 4 \times 10^{-8} C \]

D

\[ 8 \times 10^{-8} C \]

📝 عرض طريقة الحل

طريقة الحل:

طاقة الوضع: \[ U = q \times V \] (لشحنة في جهد الآخر)

\[ U = 3 \times 10^{-6} J \]، \[ V = 150 V \]

\[ q = \frac{U}{V} = \frac{3 \times 10^{-6}}{150} = 2 \times 10^{-8} C \]

📚 مسائل محلولة (3 مسائل)

المسألة 1: إلكترون يتحرك بين لوحين متوازيين

إلكترون يدخل مجالاً كهربائياً منتظماً بين لوحين متوازيين طول كل منهما \[ L = 0.15 m \] والمسافة بينهما \[ d = 0.02 m \]. فرق الجهد بين اللوحين \[ V = 200 V \].

إذا دخل الإلكترون بسرعة أفقية \[ v_0 = 3 \times 10^6 m/s \] موازية للوحين، فاحسب:

1. مقدار انحراف الإلكترون عند خروجه من المجال
2. سرعة الإلكترون عند خروجه

📝 عرض الحل

الحل:

الجزء الأول: حساب انحراف الإلكترون

شدة المجال الكهربائي: \[ E = \frac{V}{d} = \frac{200}{0.02} = 10000 \, N/C \]

قوة المجال على الإلكترون: \[ F = eE = (1.6 \times 10^{-19}) \times 10000 = 1.6 \times 10^{-15} \, N \]

تسارع الإلكترون في الاتجاه العمودي: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-15}}{9.11 \times 10^{-31}} = 1.756 \times 10^{15} \, m/s^2 \]

زمن عبور اللوحين: \[ t = \frac{L}{v_0} = \frac{0.15}{3 \times 10^6} = 5 \times 10^{-8} \, s \]

الانحراف الرأسي: \[ y = \frac{1}{2}at^2 = 0.5 \times 1.756 \times 10^{15} \times (5 \times 10^{-8})^2 = 0.002195 \, m \approx 2.2 \, mm \]

الجزء الثاني: حساب السرعة النهائية

المركبة الأفقية: \[ v_x = v_0 = 3 \times 10^6 \, m/s \]

المركبة الرأسية: \[ v_y = at = 1.756 \times 10^{15} \times 5 \times 10^{-8} = 8.78 \times 10^6 \, m/s \]

السرعة المحصلة: \[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(3 \times 10^6)^2 + (8.78 \times 10^6)^2} \approx 9.28 \times 10^6 \, m/s \]

1. انحراف الإلكترون ≈ 2.2 مم
2. السرعة النهائية ≈ 9.28 × 10⁶ م/ث

المسألة 2: طاقة نظام الشحنات

شحنتان نقطيتان \[ q_1 = 5 \mu C \] و \[ q_2 = -3 \mu C \] تبعدان عن بعضهما مسافة \[ r = 0.2 m \].

إذا أردنا فصل الشحنتين إلى مسافة لا نهائية، فاحسب:

1. طاقة الوضع الكهربائية للنظام الابتدائي
2. الشغل المطلوب لفصل الشحنتين

📝 عرض الحل

الحل:

الجزء الأول: طاقة الوضع الابتدائية

\[ U = \frac{k q_1 q_2}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (-3 \times 10^{-6})}{0.2} \]

\[ U = -0.675 \, J \]

الجزء الثاني: الشغل المطلوب للفصل

عند فصل الشحنتين إلى ما لا نهاية، \[ U_{\text{نهائي}} = 0 \]

\[ W = \Delta U = U_{\text{نهائي}} - U_{\text{ابتدائي}} = 0 - (-0.675) = 0.675 \, J \]

1. طاقة الوضع الابتدائية = -0.675 جول
2. الشغل المطلوب للفصل = 0.675 جول

ملاحظة: الإشارة السالبة لطاقة الوضع تعني أن القوة بين الشحنتين جاذبة (لأنهما مختلفتان في الإشارة).

المسألة 3: إيجاد المجال الكهربائي من دالة الجهد

دالة الجهد الكهربائي في منطقة من الفراغ تعطى بالعلاقة: \[ V(x,y,z) = 3x^2y - 4yz^2 + 2z^3 \]

أوجد شدة المجال الكهربائي عند النقطة \[ (1, 2, -1) \].

📝 عرض الحل

الحل:

المجال الكهربائي هو التدرج السالب للجهد: \[ \vec{E} = -\nabla V \]

\[ \frac{\partial V}{\partial x} = 6xy \]، \[ \frac{\partial V}{\partial y} = 3x^2 - 4z^2 \]، \[ \frac{\partial V}{\partial z} = -8yz + 6z^2 \]

عند النقطة \[ (1, 2, -1) \]:

\[ \frac{\partial V}{\partial x} = 12 \]، \[ \frac{\partial V}{\partial y} = -1 \]، \[ \frac{\partial V}{\partial z} = 22 \]

\[ E_x = -12 \]، \[ E_y = 1 \]، \[ E_z = -22 \]

\[ |\vec{E}| = \sqrt{(-12)^2 + (1)^2 + (-22)^2} = \sqrt{629} \approx 25.08 \, N/C \]

\[ \vec{E} = -12\hat{i} + \hat{j} - 22\hat{k} \, N/C \]، المقدار ≈ 25.08 N/C