Search

 
 


المجال الكهربائي لكرة مصمتة بإستخدام قانون جاوس



حساب المجال الكهربائي داخل وخارج كرة مصمتة مشحونة

لحساب المجال الكهربائي عند نقطة داخل أو خارج كرة مصمتة مشحونة، نستخدم قانون جاوس الذي ينص على:

\[ ∮ E · dA =\frac {Q}{ε_0}\]

حيث:

  • E: شدة المجال الكهربائي
  • dA: العنصر التفاضلي لمساحة السطح المغلق
  • Qinside: الشحنة المحصورة داخل السطح المغلق
  • ε0: سماحية الفراغ

خطوات الحساب:

  1. نختار سطحاً كروياً تخيلياً (سطح جاوس) يمر بالنقطة المطلوب حساب المجال عندها
  2. نحسب التدفق الكهربائي عبر هذا السطح
  3. نحدد الشحنة المحصورة داخل سطح جاوس
  4. نطبق قانون جاوس لحساب شدة المجال

حالة النقطة داخل الكرة

عندما تكون النقطة داخل الكرة \[(r < R)\]، فإن سطح جاوس سيكون كرة نصف قطرها \[r\] والشحنة المحصورة داخل هذا السطح هي جزء من الشحنة الكلية.

بما أن الشحنة موزعة بانتظام، يمكننا استخدام التناسب بين الحجوم والشحنات:

\[\frac {q_{ins}}{q_{tot}}=\frac {V_{ins}}{V_{tot}}\] \[\frac {q_{ins}}{q_{tot}}=\frac {\frac {4}{3} π r³}{\frac {4}{3} π R³}\] \[q_{ins}=q_{tot}\frac {r³}{R³}\] \[ ∮ E · dA = E.A=E. 4 π r^2=\frac {q_{ins}}{ε_0}\] \[E. 4 π r^2=q_{tot}\frac {r³}{R³ε_0}\] \[E=\frac {q_{tot}.r}{4 π R^3 ε_0}=\frac {K.q_{tot}.r}{R^3}\]

حيث \[K = 1/(4πε_0)\] هو ثابت كولوم.

نلاحظ أن المجال داخل الكرة يتناسب طردياً مع البعد عن المركز \[(E ∝ r)\]

حالة النقطة خارج الكرة \[ (r > R)\]

عندما تكون النقطة خارج الكرة ، فإن سطح جاوس سيكون كرة نصف قطرها \[r\] والشحنة المحصورة داخل هذا السطح هي الشحنة الكلية للكرة.

بتطبيق قانون جاوس:

\[ E × 4πr² = \frac {Q}{ ε_0}\] \[E=\frac {q_{tot}}{4 π r^2 ε_0}=\frac {K.q_{tot}}{r^2}\]

نلاحظ أن المجال خارج الكرة يتناسب عكسياً مع مربع البعد عن المركز \[E ∝ 1/r²\]

ملاحظات هامة:

  • المجال الكهربائي داخل الكرة المصمتة المشحونة يتناسب طردياً مع البعد عن المركز
  • المجال الكهربائي خارج الكرة المصمتة المشحونة يتناسب عكسياً مع مربع البعد عن المركز
  • عند سطح الكرة (r = R)، تكون قيمتا المجال من العلاقتين الداخلية والخارجية متساويتين
  • الخط البياني للمجال مقابل البعد يظهر قيمة عظمى عند سطح الكرة

المحاكاة التفاعلية

1.0 m
5.0 μC
1.5 m

نتيجة الحساب:

شدة المجال الكهربائي: 0.0 نيوتن /كولوم

الموقع: خارج الكرة

التمثيل المرئي للكرة والمجال

العلاقة بين شدة المجال والبعد عن المركز

\[1 \star \star \star\]

تم رسم العلاقة بين المجال والبعد عن مركز كرة مشحونة
مصمته غير موصلة فكان الخط البياني التالي فان مقدار المجال عند
نقطة تبعد عن مركز الكرة
(0.15 m) مسافة
تعادل

أختر الإجابة الصحيحة

A
\[E=2800 \;\;N/C\]
B
\[E=3000 \;\;N/C\]
C
\[E=2700 \;\;N/C\]
D
\[E=2900 \;\;N/C\]
  • اضغط هنا تظهر طريقة الحل

    • Electric Field of a Solid Sphere Using Gauss's Law



    Calculating Electric Field Inside and Outside a Charged Solid Sphere

    To calculate the electric field at a point inside or outside a charged solid sphere, we use Gauss's law which states:

    \[ ∮ E · dA =\frac {Q}{ε_0}\]

    Where:

    • E: Electric field intensity
    • dA: Differential area element of the closed surface
    • Qinside: Charge enclosed within the closed surface
    • ε0: Permittivity of free space

    Calculation Steps:

    1. We choose an imaginary spherical surface (Gaussian surface) passing through the point where we want to calculate the field
    2. We calculate the electric flux through this surface
    3. We determine the charge enclosed within the Gaussian surface
    4. We apply Gauss's law to calculate the field intensity

    Case of Point Inside the Sphere (r < R)

    When the point is inside the sphere (r < R), the Gaussian surface will be a sphere of radius r, and the charge enclosed within this surface is part of the total charge.

    Since the charge is uniformly distributed, we can use the proportionality between volumes and charges:

    \[\frac {q_{ins}}{q_{tot}}=\frac {V_{ins}}{V_{tot}}\] \[\frac {q_{ins}}{q_{tot}}=\frac {\frac {4}{3} π r³}{\frac {4}{3} π R³}\] \[q_{ins}=q_{tot}\frac {r³}{R³}\] \[ ∮ E · dA = E.A=E. 4 π r^2=\frac {q_{ins}}{ε_0}\] \[E. 4 π r^2=q_{tot}\frac {r³}{R³ε_0}\] \[E=\frac {q_{tot}.r}{4 π R^3 ε_0}=\frac {K.q_{tot}.r}{R^3}\]

    Where K = 1/(4πε0) is Coulomb's constant.

    We note that the field inside the sphere is directly proportional to the distance from the center (E ∝ r)

    Case of Point Outside the Sphere (r > R)

    When the point is outside the sphere (r > R), the Gaussian surface will be a sphere of radius r, and the charge enclosed within this surface is the total charge of the sphere.

    By applying Gauss's law:

    \[ E × 4πr² = \frac {Q}{ ε_0}\] \[E=\frac {q_{tot}}{4 π r^2 ε_0}=\frac {K.q_{tot}}{r^2}\]

    We note that the field outside the sphere is inversely proportional to the square of the distance from the center (E ∝ 1/r²)

    Important Notes:

    • The electric field inside a charged solid sphere is directly proportional to the distance from the center
    • The electric field outside a charged solid sphere is inversely proportional to the square of the distance from the center
    • At the surface of the sphere (r = R), the field values from both internal and external relationships are equal
    • The graph of field versus distance shows a maximum value at the surface of the sphere

    Interactive Simulation

    1.0 m
    5.0 μC
    1.5 m

    Calculation Result:

    Electric Field Intensity: 0.0 N/C

    Location: Outside the sphere

    Sphere and Field Visualization

    Field Intensity vs Distance Relationship

    \[1 \star \star \star\]

    The relationship between the field and distance from the center of a charged
    non-conducting solid sphere was plotted, resulting in the following graph.
    The magnitude of the field at a point
    at a distance of (0.15 m) from the center of the sphere
    equals

    Choose the correct answer

    A
    \[E=2800 \;\;N/C\]
    B
    \[E=3000 \;\;N/C\]
    C
    \[E=2700 \;\;N/C\]
    D
    \[E=2900 \;\;N/C\]
  • Click here to show solution method

    • اكتب تعليقا واذا كان هناك خطأ اكتبه وحدد مكانه Write a comment, and if there is mistake, write and specify its location

    No comments:

    Post a Comment

    🧮 Calculator
    🗑️
    ✏️ قلم