حساب المجال الكهربائي داخل وخارج كرة مصمتة مشحونة

لحساب المجال الكهربائي عند نقطة داخل أو خارج كرة مصمتة مشحونة، نستخدم قانون جاوس الذي ينص على:

\[ ∮ E · dA =\frac {Q}{ε_0}\]

حيث:

• E: شدة المجال الكهربائي
• dA: العنصر التفاضلي لمساحة السطح المغلق
• Q_inside: الشحنة المحصورة داخل السطح المغلق
• ε₀: سماحية الفراغ

خطوات الحساب:

1. نختار سطحاً كروياً تخيلياً (سطح جاوس) يمر بالنقطة المطلوب حساب المجال عندها
2. نحسب التدفق الكهربائي عبر هذا السطح
3. نحدد الشحنة المحصورة داخل سطح جاوس
4. نطبق قانون جاوس لحساب شدة المجال

حالة النقطة داخل الكرة (r < R)

عندما تكون النقطة داخل الكرة (r < R)، فإن سطح جاوس سيكون كرة نصف قطرها r، والشحنة المحصورة داخل هذا السطح هي جزء من الشحنة الكلية.

بما أن الشحنة موزعة بانتظام، يمكننا استخدام التناسب بين الحجوم والشحنات:

\[\frac {q_{ins}}{q_{tot}}=\frac {V_{ins}}{V_{tot}}\] \[\frac {q_{ins}}{q_{tot}}=\frac {\frac {4}{3} π r³}{\frac {4}{3} π R³}\] \[q_{ins}=q_{tot}\frac {r³}{R³}\] \[ ∮ E · dA = E.A=E. 4 π r^2=\frac {q_{ins}}{ε_0}\] \[E. 4 π r^2=q_{tot}\frac {r³}{R³ε_0}\] \[E=\frac {q_{tot}.r}{4 π R^3 ε_0}=\frac {K.q_{tot}.r}{R^3}\]

حيث K = 1/(4πε₀) هو ثابت كولوم.

نلاحظ أن المجال داخل الكرة يتناسب طردياً مع البعد عن المركز (E ∝ r)

حالة النقطة خارج الكرة (r > R)

عندما تكون النقطة خارج الكرة (r > R)، فإن سطح جاوس سيكون كرة نصف قطرها r، والشحنة المحصورة داخل هذا السطح هي الشحنة الكلية للكرة .

بتطبيق قانون جاوس:

\[ E × 4πr² = \frac {Q}{ ε_0}\] \[E=\frac {q_{tot}}{4 π r^2 ε_0}=\frac {K.q_{tot}}{r^2}\]

نلاحظ أن المجال خارج الكرة يتناسب عكسياً مع مربع البعد عن المركز (E ∝ 1/r²)

ملاحظات هامة:

• المجال الكهربائي داخل الكرة المصمتة المشحونة يتناسب طردياً مع البعد عن المركز
• المجال الكهربائي خارج الكرة المصمتة المشحونة يتناسب عكسياً مع مربع البعد عن المركز
• عند سطح الكرة (r = R)، تكون قيمتا المجال من العلاقتين الداخلية والخارجية متساويتين
• الخط البياني للمجال مقابل البعد يظهر قيمة عظمى عند سطح الكرة

\[1 \star \star \star\]

تم رسم العلاقة بين المجال والبعد عن مركز كرة مشحونة
مصمته غير موصلة فكان الخط البياني التالي فان مقدار المجال عند
نقطة تبعد عن مركز الكرة
(0.15 m) مسافة
تعادل

أختر الإجابة الصحيحة

---

A

\[E=2800 \;\;N/C\]

B

\[E=3000 \;\;N/C\]

C

\[E=2700 \;\;N/C\]

D

\[E=2900 \;\;N/C\]

اضغط هنا تظهر طريقة الحل

\[2\star \star \star\]

تم رسم العلاقة بين المجال والبعد عن مركز كرة مشحونة بشكل منتظم و
مصمته غير موصلة فكان الخط البياني التالي فان مقدار الشحنة الموجودة في
(0.1 m) كرة نصف قطرها
موجودة داخل الكرة المشحونة تعادل

أختر الإجابة الصحيحة

---

A

\[q= 2.45×10^{-9} \;\;c\]

B

\[q= 1.78×10^{-9} \;\;c\]

C

\[q= 7.45×10^{-9} \;\;c\]

D

\[q= 2.2×10^{-9} \;\;c\]

اضغط هنا تظهر طريقة الحل