المجال الكهربائي لموصل أجوف مشحون The electric field of a charged hollow conductor

<<< المجال الكهربائي لموصل أجوف مشحون >>>

الهيكل الكروي المشحون

ليكن لدينا هيكل كروي مشحون نصف قطره R. الشحنة الكلية موزعة بشكل منتظم على سطح الكرة.

قانون غاوس

ينص قانون غاوس على أن التدفق الكهربائي عبر أي سطح مغلق يتناسب مع الشحنة الكهربائية المحصورة داخل ذلك السطح:

\[∅ = ∮ E · dA = \frac {q}{ε_0}\]

اختيار سطح غاوس

نختار سطحًا كرويًا (سطح غاوس) يمر بالنقطة المطلوبة حساب المجال فيها. بسبب التماثل الكروي، يكون المجال الكهربائي E متجهًا بشكل عمودي على السطح في جميع النقاط وله نفس المقدار.

النقطة خارج الهيكل (r > R)

عندما تكون النقطة خارج الهيكل الكروي (على بعد r من المركز)، فإن سطح غاوس الكروي الذي نصف قطره r يحتوي على الشحنة الكلية Q.

\[∮ E · dA = E ∮ dA = E (4πr²) =\frac { q }{ ε₀}\]

\[E (4πr²) =\frac{ q }{ ε₀}\]

\[E = \frac{q}{4πε₀r²}\]

هذه النتيجة تشبه مجال شحنة نقطية عند مركز الكرة.

النقطة داخل الهيكل (R > r)

عندما تكون النقطة داخل الهيكل الكروي (على بعد r من المركز)، فإن سطح غاوس الكروي الذي نصف قطره r لا يحتوي على أي شحنة، لأن جميع الشحنات موجودة على السطح الخارجي للهيكل.

\[∮ E · dA = E ∮ dA = E (4πr²) = 0\]

\[E (4πr²) = 0\]

\[E = 0\]

المجال الكهربائي داخل الهيكل الكروي المشحون يساوي صفر.

ملخص النتائج

موقع النقطة	المجال الكهربائي (E)	التفسير
خارج الهيكل (r₂ > R)	\[E = \frac {q }{ 4πr₂²ε₀}\]	يشبه مجال شحنة نقطية عند المركز
على السطح (r₂ = R)	\[E =\frac {q }{4πR²ε₀}\]	أقصى قيمة للمجال
داخل الهيكل (R > r₁)	E = 0	لا توجد شحنة داخل السطح الغاوسي

الرموز المستخدمة

الرمز	المعنى	الوحدة (في النظام الدولي)
E	المجال الكهربائي	نيوتن/كولوم (N/C)
q	الشحنة الكلية	كولوم (C)
R	نصف قطر الهيكل الكروي	متر (m)
r₁, r₂	المسافة من مركز الكرة	متر (m)
ε₀	سماحية الفراغ	كولوم²/نيوتن.متر² (C²/N·m²)
∅	التدفق الكهربائي	نيوتن.متر²/كولوم (N·m²/C)