حركة مركز الكتلة بدون قوة خارجية Center of mass movement without external force

 

 

مركز الكتلة بدون قوة خارجية

في هذه المحاكاة لاحظ أن مركز الكتلة لا يتغير لعدم وجود قوة خارجية

مركز الكتلة بدون قوة خارجية

تُظهر المحاكاة شخصًا (باللون الأسود) يقف عند الطرف الأيسر لقارب أحمر طوله 2.4 متر. ينتقل الشخص بعد ذلك إلى الطرف الأيمن من القارب - إلى أي مدى يتحرك القارب؟ هذا يعتمد على كيفية المقارنة بين مركز كتلة الشخص والقارب. الدوائر الموجودة في الماء تحدد المواضع الأفقية لمركز كتلة الشخص ونظام القارب . نحسب مركز الكتلة قبل الحركة \[\vec X=\frac{{{m_1.\vec x_1 +m_2.\vec x_2 }}}{{{m_1+m_2}}} \]
نحسب مركزالكتلة بعد الحركة \[\vec X=\frac{{{m_1.\vec x_1 +m_2.\vec x_2 }}}{{{m_1+m_2}}} \]
لاحظ أن مركز الكتلة لا يتغير لعدم وجود قوة خارجية

مدى كتلة الشخص

30 kg 90 kg

90

مدى كتلة القارب

30 kg 90 kg

30

مثال محلول

يقف رجل كتلته \[60.0\;kg \] في زورق يطفو على سطح الماء كتلته \[80\;kg\] وطول القارب \[4\;m\] فسار هذا الرجل من نقطة تبعد \[0.750\;m\] عن مؤخرة الزورق إلى نقطة تبعد \[0.750\;m\]عن مقدمة الزورق .إذا افترضنا أن الاحتكاك بين الزورق وسطح الماء ضئيل جداً . فما مقدار المسافة التي سيتحركها الزورق

من خلال التجربة السابقة مركز الكتلة لا يتغير إذا لم يكن هناك قوة خارجية
تحديد مركز الكتلة قبل الحركة
\[\vec X=\frac{{{m_1.\vec x_1 +m_2.\vec x_2 }}}{{{m_1+m_2}}}=\frac{{{60×(4-0.75) +80 ×(2) }}}{{{60+80}}}=2.54 m\]
مركز الكتلة بعد الحركة
\[\vec X= 2.54 m\]
\[\vec X=\frac{{{m_1.\vec x_1 +m_2.\vec x_2 }}}{{{m_1+m_2}}}=\frac{{{60×(0.75+ d) +80×(2.00+ d) }}}{{{60 +80 }}}\]
\[2.54=\frac{{{60×(0.75+ d) +80×(2.00+ d) }}}{{{60 +80 }}}\]
\[d=1.07 m \]

حركة الصاروخ

إطلاق الصاروخ لكرات كي يستقر على مساره

(∆m) كتلة القذيفة
( 𝑣c )و تتحرك القذيفة بسرعة قدرها
( m0 ) كتلة الصاروخ

بعد إطلاق القذفة الأولى تقل كتلة الصاروخ وتصبح \[m_0 - ∆ m \]

ولا يتغير كمية الحركة لمركز الكتلة لعدم وجود قوة خارجية

كمية حركة القذيفة تساوي \[𝑃_𝐶 = ∆m .v_𝐶 \]

وكمية حركة الصاروخ \[ 𝑃_𝑟 =( 𝑚_0 -∆ m) 𝑣_1 \]

\[ 𝑣_1 \] سرعة الصاروخ بعد إطلاق أول قذيفة

وحسب حفظ كمية الحركة \[ 𝑃_𝑟 + 𝑃_𝐶 = 0 \]

\[ ∆m . 𝑣 _𝑐 + ( 𝑚_0 -∆ m) 𝑣_1 = 0 \]

يمكن أن نقول ان تغير سرعة الصاروخ

\[ 𝑣_1 = 𝑣_0 + ∆𝜗 = 0+ ∆𝜗 = ∆𝑣_1 \]

\[ ∆m . 𝑣 _𝑐 + ( 𝑚_0 -∆ m) ∆𝑣_1 = 0 \]

\[∆𝑣_1 = \frac {{{- ∆m . 𝑣 _𝑐 }}}{{{ 𝑚_0 -∆ m}}}\]

( n ) إذا تم إطلاق عدد من القذائف قدرها

\[∆𝑣_n = \frac {{{- ∆m . 𝑣 _𝑐 }}}{{{ 𝑚_0 -n∆ m}}}\]

( ∆𝑚 ) بما أن كتلة القذائف أصغر بكثير من كتلة الصاروخ نهمل في المقام \[∆𝑣_n = \frac {{{- ∆m . 𝑣 _𝑐 }}}{{{ 𝑚 }}}\]

\[\frac {∆𝑣}{∆m}=\frac {-𝑣_𝑐}{𝑚}\]

\[\frac {d𝑣}{dm}=\frac {-𝑣_𝑐}{𝑚}\]

\[ d𝑣 =\frac {-𝑣_𝑐 .dm}{𝑚_0}\]

بإجراء التكامل \[ 𝑣(m) = -𝑣_𝑐\int \limits_{𝑚_0}^m \frac{dm^`}{𝑚^`}\]

\[ 𝑣(m) = -𝑣_𝑐.\left[{ln (m^`) }\right]_{𝑚_0}^m=-𝑣_𝑐 .ln \frac {m}{𝑚_0}\]

\[ 𝑣(m) = 𝑣_𝑐 .ln \frac {𝑚_0}{m}\]

\[ 𝑣_f -𝑣_i = 𝑣_𝑐 .ln \frac {𝑚_0}{m_f}- 𝑣_𝑐 .ln \frac {𝑚_0}{m_i}\]

\[ 𝑣_f -𝑣_i = 𝑣_𝑐 .ln \frac {𝑚_i}{m_f} \]

مثال محلول

مركبة فضائية كتلتها الصافية تعادل \[60000.0\;kg\] وتحمل وقود كتلته \[2400000.0\;kg\] ويخرج الوقود من الصاروخ بسرعة \[35000\;m/s\] ما السرعة النهائية التي يصل إليها الصاروخ بعد نفاذ الوقود

\[m_i = 60000 + 2400000 = 2460000 kg\]
\[m_f = 60000 kg \]
\[𝑣_𝑐 = 35000 m/s\]
\[ 𝑣_f = 𝑣_𝑐 .ln \frac {𝑚_i}{m_f} \]
\[ 𝑣_f = 35000 .ln \frac {2460000}{60000} \]
\[ 𝑣_f = 13000 m/s \]

المصدر http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/impulse.html اكتب تعليقا واذا كان هناك خطأ اكتبه وحدد مكانه Write a comment, and if there is mistake, write and specify its location