📄 اطبع pdf
00971504825082

تجربة النواس الثقلي

محاكاة تفاعلية لمسطرة متأرجحة مع دراسة القوى والعزوم

المحاكاة التفاعلية

زاوية الإزاحة:

15 درجة

حالة المحاكاة:

المسطرة معلقة من طرفها العلوي في حالة توازن

الزاوية الحالية: 0 درجة

سرعة الحركة: 0

عزم الرد: 0 نيوتن.متر

الطاقة الكلية: 0 جول

الأسئلة والإجابات

السؤال 1: القوى الخارجية المؤثرة على المسطرة المعلقة من طرفها

الإجابة:

قوة الوزن (الكتلة × الجاذبية ): تؤثر في مركز ثقل المسطرة (منتصفها) وتتجه عمودياً نحو الأسفل.
قوة رد الفعل عند نقطة التعليق (O): تؤثر في نقطة التعليق وتتجه عمودياً نحو الأعلى.

العزوم المؤثرة: عزم قوة الوزن بالنسبة لنقطة التعليق O يساوي صفراً لأن المسطرة في وضع شاقولي ومركز الثقل يقع على نفس الخط الرأسي مع نقطة التعليق.

السؤال 2: نوع حركة المسطرة عند إزاحتها عن موضع توازنها

الإجابة: حركة توافقية بسيطة (تقريباً) للزوايا الصغيرة.

العزوم المؤثرة:

عزم قوة الوزن لا يساوي صفراً عندما تكون المسطرة مائلة
لزوايا الإزاحة الصغيرة: العزم ≈ - (م ج ل/2) × θ
حيث ل طول المسطرة، م كتلتها، ج عجلة الجاذبية

هذا العزم يعمل على إعادة المسطرة إلى وضع التوازن، لذلك يسمى عزم الرد.

السؤال 3: نوع توازن المسطرة عند تعليقها من منتصفها

هل تتحرك المسطرة؟ نعم، ولكن حركتها ليست حركة توافقية بسيطة.

نوع توازن المسطرة: توازن محايد (متكافئ).

العزوم المؤثرة:

عزم قوة الوزن بالنسبة لنقطة التعليق (المنتصف) يساوي صفراً دائماً
لأن مركز الثقل يقع عند نفس نقطة التعليق
لا يوجد عزم لإعادة المسطرة إلى الوضع الأصلي

الشرح النظري

االنوّاس الثقلي (Physical Pendulum)

هو جسم صلب يمكنه الدوران حول محور أفقي ثابت لا يمر بمركز ثقله. يختلف عن النوّاس البسيط الذي يتكون من كتلة نقطية.

مضرب البيسبول يمثل نموذجاً مثالياً للنوّاس الثقلي بسبب توزيع كتلته الغير منتظم وقابليته للدوران حول نقطة ثابتة (المقبض).

المحاكاة التفاعلية

طول المضرب (L)

0.84 م

الكتلة (m)

0.96 كغ

السعة الزاوية (θ₀)

0.35 راد

بعد مركز الثقل (d)

0.54 م

بيانات الحركة

الزمن المنقضي

0.00

ثانية

الزاوية الحالية

0.35

راديان

السرعة الزاوية

0.00

راد/ثانية

الدورة الزمنية

1.47

ثانية

تحليل حركة النواس الثقلي (البندول الفيزيائي)

وصف النظام

جسم صلب كتلته \[m\] مركز عطالته \[C\]، يُعلَّق من محور دوران أفقي يمر بالنقطة \[O\] من الجسم، حيث البعد بين \[O C=d\]

شروط الحركة

ندير الجسم بزاوية θ₀ عن موضع توازنه الشاقولي ثم نتركه دون سرعة ابتدائية، فيبدأ بالاهتزاز في مستوى شاقولي.

القوى المؤثرة في الجسم

W - قوة ثقله (الوزن)

تؤثر في مركز ثقل الجسم نحو الأسفل

R - قوة رد فعل محور الدوران

تؤثر من المحور على الجسم في نقطة التعليق

تطبيق العلاقة الأساسية في التحريك الدوراني

بتطبيق نظرية التسارع الزاوي (العزم = عزم القصور الذاتي × التسارع الزاوي):

\[M = Iα\]

M - العزم الكلي

مجموع عزوم القوى المؤثرة على الجسم

I - عزم القصور الذاتي

عزم عطالة النظام حول محور الدوران

α - التسارع الزاوي

المشتقة الثانية للزاوية بالنسبة للزمن

حساب العزم

باختيار الجهة الموجبة للدوران عكس جهة دوران عقارب الساعة:

\[M = M_W + M_R\]

حيث:

\[M_R = 0\] لأن حامل قوة رد الفعل يمر من محور الدوران

\[M_W = -W·d·sinθ\] (لأنها تؤثر بعزم يعيد الجسم إلى وضع التوازن)

بالتعويض:

\[Iα = -W·d·sinθ\]
\[Iα = -mg·d·sinθ\]

المعادلة التفاضلية للحركة

\[α + (mgd/I)sinθ = 0\]

ولكن \[α = \frac {d²θ}{dt²}\] فتصبح المعادلة:

\[\frac {d²θ}{dt²} + \frac {mgd}{I}sinθ = 0\] (1)

هذه معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية تحتوي على
sinθ بدلاً من θ
لذا فإن حلها ليس جيبياً بسيطاً، وتُمثِّل حركة اهتزازية غير توافقية.

تبسيط للزوايا الصغيرة (θ ≤ 0.24 راديان ≈ 14°)

في هذه الحالة: \[sinθ ≈ θ\]

بالتعويض في العلاقة (1):

\[\frac {d²θ}{dt²} + \frac {mgd}{I}θ = 0\] (2)

هذه معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية تقبل حلاً جيبياً:

\[θ(t) = θ_{max}·cos(ω₀t + φ)\]

حيث \[ω₀\] هو النبض الخاص للاهتزاز.

للتحقق من صحة الحل، نشتق تابع المطال الزاوي مرتين بالنسبة للزمن:

\[\frac{dθ}{dt} = -ω₀·θ_{max}·sin(ω₀t + φ)\]

\[\frac {d²θ}{dt²} = -ω₀²·θ_{max}·cos(ω₀t + φ) = -ω₀²·θ(t)...........(3)\]

بالمطابقة بين (2) و (3):

\[ω₀² =\frac{ mgd}{I}\]

النتائج

النبض الخاص للاهتزاز

\[ω₀ = \sqrt {\frac {mgd}{I}}\]

الدور الخاص للاهتزاز

\[T₀ =\frac { 2π}{ω₀} = 2π\sqrt {\frac {I}{mgd}}\]

من أجل السعات الزاوية الصغيرة، حركة النواس الثقلي هي حركة جيبية توافقية لأن المقادير \[I\;\;,\;\; d\;\;,\;\; m\;\;,\;\;g\] موجبة.

حساب عزم القصور الذاتي

إذا كان الجسم مكوناً من عدة أجزاء نفترضها نقاطاً مادية كتلتها \[m₁, m₂, ... mᵢ\] وهي تبعد عن محور الدوران بالأبعاد \[r₁, r₂, ... rᵢ\]، فإن:

\[I = Σ mᵢ·rᵢ²\]

حيث r يُعد موجباً إذا كان مركز عطالة الكتلة المهتزة تحت محور الدوران، وسالباً إذا كان فوق محور الدوران.

ويمكن حساب d (بعد مركز العطالة عن محور الدوران) بتطبيق علاقة التوازن الدوراني أو باستخدام العلاقة:

\[d = |OC|\] \[\vec d=\frac{{{m_1.\vec r_1 +m_2.\vec r_2 +...........+m_i.\vec r_i }}}{{{m_1+m_2+.......+m_i}}} \]

حيث C هو مركز عطالة الجسم الصلب.

الوحدات المستخدمة

T₀ - الدور الخاص

بالثواني (s)

I - عزم عطالة الجسم الصلب

كغم·م² (kg·m²)

d - بعد محور الدوران عن مركز عطالة الجسم

متر (m)

m - كتلة الجسم

كغم (kg)

g - تسارع الجاذبية الأرضية

م/ث² (m/s²)

للزوايا الكبيرة:

للزوايا الكبيرة، تكون الحركة غير توافقية ويتم حل المعادلة الأصلية:

\[\frac {d²θ}{dt²} + \frac {mgd}{I}sinθ = 0\]

باستخدام طرق عددية مثل طريقة أويلر.

مركز الثقل

النقطة المثلى

محور الدوران

قوة الوزن

بيان المسألة

ساق متجانسة طولها \[ L \] وكتلتها \[ m \] معلقةً رأسيًا من طرفها العلوي بمحور أفقي. عند إزاحتها بزاوية صغيرة عن وضع التوازن الرأسي وتركها دون سرعة ابتدائية، فهي تؤلف نواسًا ثقليًا.

المعطيات

طول الساق \[ L \] \[ 0.375 \, \text{m} \]

كتلة الساق \[ m \] \[ m \, \text{kg} \]

عجلة الجاذبية \[ g \] \[ 9.8 \, \text{m/s}^2 \]

عزم عطالة الساق حول مركزها \[ I_c \] \[I_c= \frac{1}{12} m L^2 \]

ملاحظة:

عزم العطالة \( I \) حول محور الدوران (نقطة التعليق) يُحسب باستخدام نظرية المحاور المتوازية:

\[ I = I_c + m d^2 \]

\[ d \] هي المسافة من مركز الثقل إلى محور الدوران.

تمثيل مرئي للنظام

خطوات الحل

العلاقة العامة للدور الخاص

للنواس الفيزيائي الذي يُزاح بزاوية صغيرة \[ \theta \] عن الوضع الرأسي، تكون معادلة الحركة الزاوية:

\[ I \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \mathcal{M} \theta \]

حيث:

\[ I \]: عزم عطالة الساق حول محور التعليق
\[ \mathcal{M} \]: عزم الإرجاع \[ = m g d \]
\[ d \]: المسافة من محور الدوران إلى مركز الثقل \[ = \dfrac{L}{2} \]

الدور الخاص \[ T \] يعطى بالعلاقة:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\mathcal{M}}} \]

حساب عزم العطالة حول نقطة التعليق

باستخدام نظرية المحاور المتوازية:

\[ I = I_c + m d^2 \]

حيث:

\[ I_c = \frac{1}{12} m L^2 \] و \[ d = \frac{L}{2} \]

بالتعويض:

\[ I = \frac{1}{12} m L^2 + m \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{12} m L^2 + \frac{1}{4} m L^2 = \frac{1}{3} m L^2 \]

حساب عزم الإرجاع

عزم الإرجاع \[ \mathcal{M} \] يعطى بالعلاقة:

\[ \mathcal{M} = m g d = m g \frac{L}{2} \]

اشتقاق العلاقة الخاصة للدور \[ T \]

بالتعويض في العلاقة العامة:

\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{I}{\mathcal{M}} } = 2\pi \sqrt{ \frac{\frac{1}{3} m L^2}{m g \frac{L}{2}} } \]

بتبسيط العبارة:

\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{\frac{1}{3} L}{\frac{g}{2}} } = 2\pi \sqrt{ \frac{2L}{3g} } \]

وهذه هي العلاقة المطلوبة للدور الخاص بالنواس الثقلي للساق المتجانسة.

التعويض بالقيم العددية

بالتعويض بـ \[ L = 0.375 \text{m} \] و \[ g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \]:

\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{2 \times 0.375}{3 \times 9.8} } = 2\pi \sqrt{ \frac{0.75}{29.4} } \]

\[ T = 2\pi \sqrt{ 0.02551 } \]

حيث:

\[\sqrt {0.02551} \approx 0.1597 \]

\[ T \approx 2\pi \times 0.1597 \approx 1.003 \, \text{s} \]

النتيجة النهائية

\[ T \approx 1.00 \, \text{s} \]

الدور الخاص للنواس الثقلي (الساق المتجانسة) هو تقريبًا ثانية واحدة

\[ T = 2\pi \sqrt{ \dfrac{2L}{3g} } \]

ملاحظات ختامية:

الدور \[ T \] يعتمد فقط على طول الساق \[ L \] وعجلة الجاذبية \[ g \] ولا يعتمد على كتلة الساق \[ m \].
هذه النتيجة صحيحة فقط للزوايا الصغيرة حيث يمكن تقريب \[ \sin\theta \approx \theta \].
للزوايا الكبيرة، يصبح التابع الزمني للحركة أكثر تعقيدًا ولا يمكن استخدام هذه العلاقة البسيطة.

ملاحظة تجريبية: في هذه المحاكاة، يمكنك ملاحظة كيف تتغير حركة المضرب بتغير المعلمات المختلفة. جرب تغيير السعة الزاوية لترى الفرق بين الحركة التوافقية (للزوايا الصغيرة) والحركة غير التوافقية (للزوايا الكبيرة).

محاكاة النواس الثقلي البسيط

دراسة نظرية وتجربة تفاعلية للبندول البسيط

الدراسة النظرية

تعريف النواس الثقلي البسيط

يتكون النواس الثقلي البسيط من:

نظريًا: نقطة مادية ثقيلة مُعلَّقة بخيط مهمل الكتلة، لا يمتد، طوله \( l \) ثابت من محور أفقي.

عمليًا: كرة صغيرة كتلتها \( m \)، معلقة بخيط مهمل الكتلة، حيث يكون طول الخيط \( l \) كبيرًا بالنسبة لنصف قطر الكرة.

الدراسة التحريكية

القوى الخارجية المؤثرة على الكرة:

ثقل الكرة: \( \vec{w} = m\vec{g} \)

توتر الخيط: \( \vec{T} \)

تطبيق العلاقة الأساسية في التحريك الدوراني: \[ \sum \tau = I \alpha \]

بالنسبة للنواس البسيط:

\[ -mgl \sin\theta = I \ddot{\theta} \] مع \( I = ml^2 \) (للنقطة المادية)

بعد الاختصار:

\[ \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 \]

في حالة السعات الزاوية الصغيرة (\( \theta \) صغير):

\[ \sin\theta \approx \theta \] \[ \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta = 0 \]

حل المعادلة:

\[ \theta(t) = \theta_{\text{max}} \cos(\omega_0 t + \varphi) \] \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \]

الدور الخاص للنواس:

\[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

خطوات التجربة العملية

التجربة 1: دراسة تأثير كتلة الكرة مع ثبات طول الخيط

التجربة 2: دراسة تأثير سعة الاهتزاز (الزاوية الابتدائية)

التجربة 3: دراسة تأثير طول الخيط

المحاكاة التفاعلية

طول الخيط (l): 100 cm

كتلة الكرة (m): 1.0 kg

الزاوية الابتدائية (θ): 15°

تسارع الجاذبية (g): 9.8 m/s²

البيانات الحالية

الدور النظري (T₀): 2.01 ثانية

التردد الزاوي (ω₀): 3.13 راد/ث

الزاوية الحالية (θ): 15°

السرعة الزاوية: 0 راد/ث

عدد النوسات: 0

الزمن المنقضي: 0 ثانية

الاستنتاجات

قم بتشغيل التجربة لملاحظة العلاقة بين طول الخيط ودور النواس.

Search

المحاكاة التفاعلية

حالة المحاكاة:

الأسئلة والإجابات

السؤال 1: القوى الخارجية المؤثرة على المسطرة المعلقة من طرفها

السؤال 2: نوع حركة المسطرة عند إزاحتها عن موضع توازنها

السؤال 3: نوع توازن المسطرة عند تعليقها من منتصفها

الشرح النظري

االنوّاس الثقلي (Physical Pendulum)

المحاكاة التفاعلية

بيانات الحركة

تحليل حركة النواس الثقلي (البندول الفيزيائي)

وصف النظام

شروط الحركة

القوى المؤثرة في الجسم

تطبيق العلاقة الأساسية في التحريك الدوراني

حساب العزم

المعادلة التفاضلية للحركة

تبسيط للزوايا الصغيرة (θ ≤ 0.24 راديان ≈ 14°)

النتائج

النبض الخاص للاهتزاز

الدور الخاص للاهتزاز

حساب عزم القصور الذاتي

الوحدات المستخدمة

للزوايا الكبيرة:

بيان المسألة

المعطيات

ملاحظة:

تمثيل مرئي للنظام

خطوات الحل

العلاقة العامة للدور الخاص

حساب عزم العطالة حول نقطة التعليق

حساب عزم الإرجاع

اشتقاق العلاقة الخاصة للدور \[ T \]

التعويض بالقيم العددية

ملاحظات ختامية:

الدراسة النظرية

تعريف النواس الثقلي البسيط

الدراسة التحريكية

خطوات التجربة العملية

المحاكاة التفاعلية

البيانات الحالية

الاستنتاجات

No comments:

Post a Comment