Search

 
 

📄 اطبع pdf
00971504825082

أنشطة: الحركة الدائرية المنتظمة ⇐ الحركة التوافقية البسيطة

لكل نشاط: زر "طريقة الحل" + محاكاة

نشاط (1): منشار كهربائي + بكرة (نقطة B و A)

الفكرة: نقطة على البكرة تتحرك دائرة، ونقطة على المنشار تتحرك خطيًا ذهابًا وإيابًا .
السرعة الزاوية ω 2.2
نصف القطر R 80
مسار B: دائري مسار A: خط مستقيم (اهتزاز)
أجب على الاسئلة التالية
.1 ُ ما شكل مسار حركة النقطة \[B\] الموجودة على البكرة
.2 ُ ما شكل مسار حركة النقطة \[A \]من المنشار ُ
.3 باتّجــاه ٍ واحــد حركــة النقطــة \[A \]أم باتجاهيــن متعا كســين
الإجابات و طريقة التفكير س1
مسار النقطة\[B\] على البكرة
الجواب
دائرة (حركة دائرية منتظمة)
س2
مسار النقطة \[A\] على المنشار
مستقيم ذهابًا وإيابًا (اهتزاز/حركة توافقية تقريبًا)
س3:
حركة \[A\]
باتجاهين متعاكسين (يمين/يسار) أثناء الذهاب والإياب.
في المحاكاة النقطة \[B\] تدور على دائرة، وإسقاطها الأفقي يعطي حركة \[A\] خطيًا (يشبه آلية كرنك-منزلق).

نشاط (2): كرة قرب محيط قرص + خيالها الضوئي على مستو شاقولي

الفكرة: ظل نقطة تتحرك دائريًا يظهر كحركة توافقية بسيطة على خط.
السرعة الزاوية ω 2.5
السعة Xmax (نصف القطر) 90
الخيال = إسقاط SHM: x(t)=Xmax cos(ωt+φ)
أجب على الاسئلة التالية ثبت كـرة ً صغيـرة ِ بالقـرب مـن محيـط قـرص ّ قابل ٍ للـدوران حـول محـور كمـا فـي الشـكل.
ّأسلط حزمة ضوئية ليتشكل خيال للكرة قي مستوى شاقولي
أدير القرص بسرعة زاوية ثابتة بوساطة محرك كهربائي
. أصف حركةَ خيال الكرة على المستوي الشاقولي ُ
أقارن حركــةَ الخيــال بحركــة جســممعلق بنابض شاقولي
وصف الحركة المطلوبة

    عند تدوير القرص بسرعة زاوية ثابتة، تتحرك الكرة على دائرة
    خيال الكرة على المستوي الشاقولي
    يتحرك على
    خط مستقيم ذهابًا وإيابًا (حركة توافقية بسيطة)
    المقارنة: حركة الخيال تشبه تمامًا حركة جسم معلّق بنابض (نفس التابع الزمني جيبي/جيبي تمام)
في المحاكاة: النقطة على الدائرة + إسقاطها على الخط يعطي الخيال

نشاط (3): كرة معدنية في وعاء دائري أملس (اهتزاز حول القاع)

الفكرة: الكرة تتذبذب على القوس حول موضع توازن؛ سرعتها أكبر قرب المركز وتنعدم عند الطرفين.
سعة الزاوية (درجة) 30
النبض ω (تقريب) 2.0
v=0 عند الطرفين v أكبر قرب المركز
أجب على الاسئلة التالية ّ
1- ُهل تتحرك الكرة باتجاه واحد مقارنة بالنقطة \[A\] 2 - ماذا تمثل النقطة \[A\] مقارنة بحركة الكرة؟ 3 -هل سرعة الكرة ثابتة وهي تتحرك 4 -في أي موضع تنعدم سرعة الكرة
الإجابات المختصرة:
    س1
    لا، حركة الكرة ليست باتجاه واحد مقارنة بالنقطة \[A\] بل ذهاب وإياب على القوس
    س2
    النقطة \[A\] تمثل موضع (طرفي/حدّي ) من حركة الاهتزاز (موضع أقصى إزاحة على الحافة).
    س3
    لا، السرعة ليست ثابتة>تتغير
    س4
    تنعدم السرعة عند موضعي الحدّين (النهايتين) وتكون أعظمية قرب القاع (مركز الاهتزاز)
هذه نتيجة عامة للحركة الاهتزازية: جسم يهتز حول مركز اهتزاز، والسرعة تتبدل مع الموضع.

نشاط (4): حركة دائرية منتظمة + إسقاط
على المحور
x (اشتقاق SHM)

الفكرة:\[ x\] هو مسقط فينتج\[ x(t)=Xmax cos(ωt+φ0) \]ونتعرّف على الطور والسعة والنبض.
السعة Xmax 120
النبض ω 2.2
الطور الابتدائي φ0 (°) 30
x(t)=Xmax cos(ωt+φ0)

أجب على الاسئلة التالية ّ
1- ُهل تتحرك الكرة بإتجاه واحد مقارنة بالنقطة \[A\]
2 - أسـمي الزاويـةَ ُ التـي يصنعهـا\[ OM \]مـع المحـور \[\vec X\]في اللحظة \[t\]
3 -أبين أن طويلة الشعاع \[ \vec OM \] ثابتة هي أم متغيرة أثناء الدوران
4 - ُ ّ أوضـح ُ هــل مســقط الشــعاع \[\vec OM \]علــى المحــور \[\vec X\] ّ َ يتغير عــد الــدوران؟ .5 أكتب العلاقة \[ cos(w_0t+φ)\] بدلالة \[ x ، و Xmax\]
طريقة الحل (كما في النص):
1)
عند \[t=0\] الزاوية بين\[ OM\] ومحور \[x\] هي \[φ0\] (الطور الابتدائي)
2)
عند زمن\[ t\] الزاوية هي \[φ(t)=ωt+φ_0\]
3)
طول \[OM = Xmax\]وهي ثابتة ندعى ( السعة)
4)
المسقط على محور \[x\]يتغير مع الدوران\[x = OM·cos(φ)\]
5)
إذًا\[x(t)=X_{max} cos(ωt+φ0)\] ⇒ تابع جيبي لحركة انسحابية توافقية بسيطة
تعريفات Xmax السعة، ω النبض (يقابل السرعة الزاوية)، φ0 الطور الابتدائي، φ(t) طور الحركة
المحاكاة ترسم الدوران + الإسقاط + منحنى x(t) بشكل حي.

نشاط (5): نابض + كرة (قوة الإرجاع – السعة – الطاقة)

الكلمات المفتاحية: نابض، قوة الإرجاع، المطال، السعة، الدور، التواتر، الطاقة الكامنة المرونية، الطاقة الحركية.
الصلابة k 80
الكتلة m 1.0
السعة A (إزاحة) 70
F=-kx Ep=½kx² Ek=½mv²

أجب على الاسئلة التالية ّ
1 - كرة كتلتها \[m\] مُعلَّقة بنابض مرن مهمل الكتلة، ثابت صلابته \[k\] حلقات النابض متباعدة. عند وضع الكرة، ماذا تلاحظ؟
2 - أحدد القوى المؤثرة على الكرة بعد وصولها إلى وضع التوازن.
3 - أشدُّ الكرة نحو الأسفل مسافة \[x_0\] مناسبة (ضمن حدود مرونة النابض) دون أن أتركها، وأحدد القوى المؤثرة على الكرة في هذه الحالة
4 - أقارن بين قوة توتر النابض في الحالة (وضع التوازن)، وقوة توتر النابض في الحالة (مشدود للأسفل).
5 - أترك الكرة لتتحرك الحالة \[C\] ، وألاحظ شكل مسار حركتها.
6- ما طبيعة حركة الكرة عند اقترابها من مركز الاهتزاز (موضع التوازن)؟ وعند ابتعادها عنه؟
7 - أحدد المواضع التي تنعدم فيها سرعة الكرة.
طريقة الحل + المطلوب:

    1)
    عند التعليق والتوازن: تتمدد النابض حتى تتوازن القوى

    2)
    القوى على الكرة بعد التوازن
    >الوزن mg
    للأسفل و
    قوة توتر النابض للأعلى.
    3)
    عند شدّ الكرة للأسفل مسافة \[A \](ضمن المرونة): تصبح الإزاحة عن موضع التوازن \[x=A\]
    4)
    توتر النابض في الحالة \[B \](شد أكبر) أكبر من الحالة \[A\]
    5)
    عند ترك الكرة: مسارها خط مستقيم شاقولي اهتزازًا

    6)
    قرب مركز الاهتزاز (موضع التوازن): السرعة أكبربعيدًا عنه: السرعة تتناقص
    7)
    تنعدم السرعة عندموضعي الحدّين \[±A\]
    الطاقة\[Ep=½kx²\] أكبر عند الحدّين، و\[Ek=½mv²\] أكبر عند مركز الاهتزاز. الميكانيكية ثابتة (بدون احتكاك)
    الدور والتواتر\[ ω=√(k/m)\] الدور\[ T=2π/ω\] التواتر \[f=1/T\]

النوّاس المرن (كتلة + نابض)

حالة السكون وحالة الحركة - استنتاج الحركة التوافقية البسيطة
1) حالة السكون (بعد تعليق الجسم وتركه حتى يتوازن):
  • يستطيل النابض مسافة \[x_0\] (الاستطالة السكونية).
  • القوى: الوزن للأسفل\[w=mg\] توتر النابض للأعلى \[F_{s_0}\]
  • شرط التوازن (المحصلة = 0): \[F_{s_0 }-w=0 \;\;\;\Longrightarrow F_{s_0} = w\]
  • وبحسب قانون هوك: \[F_{s_0} = k x_0\]⇒ \[x_0 =\frac{ w}{k} =\frac{ mg}{k}\]
\[ x_0 = \frac{mg}{k} \]
2) حالة الحركة (عند إزاحة الجسم عن موضع التوازن وتركه):
  • ليكن x هو المطال (الإزاحة) مقاسًا من موضع التوازن (مركز الاهتزاز).
  • توتر النابض لحظة الحركة: \[F_s = k(x_0 + x)\]
  • بتطبيق نيوتن على المحور الشاقولي الموجب نحو الأسفل: \[m a = w - F_s\]
  • نعوض: \[m a = mg - k(x_0 + x)\]
  • لكن \[mg = k x_0\] ⇒ تختفي الحدود الثابتة فنحصل على: \[m a = -k x\]
  • \[F = -k x\]
  • و هي قوة إرجاعالاشارة السالبة لأنها تعاكس الإزاحة وتعيد الجسم نحو مركز الاهتزاز.
  • إذًا: \[a = -(\frac{k}{m})x\]
\[ F = -kx \quad \text{و} \quad a = -\frac{k}{m}x \]
3) طبيعة الحركة (استنتاج الحركة التوافقية البسيطة):
  • المعادلة التفاضلية: \[(\bar x)'' + (k/m) x = 0\]
  • حلها الجيبي: \[x(t) = X_{max} cos(ω t + φ0)\]
  • حيث: \[ω_0 = \sqrt {\frac {k}{m}}\] (النبض الخاص)، و \[w_0>0\] ّ وهذا محقق لأن \[m\;\;\;,\;\;\; k\] موجبان.
  • Xmax السعة، وφ0 الطور الابتدائي.
  • السرعة: \[v(t)=x'(t)= -ω_0 X_{max} sin(ωt+φ0)\]
  • التسارع: \[a(t)=x''(t)= -ω_0² X_{max} cos(ωt+φ0)= -ω_0² x\]
\[ x(t) = X_{max} \cos(\omega_0 t + \phi_0) \quad \text{حيث} \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
4) الدور والتواتر:
  • الدور: هو الزمن اللازم لإتمام حركة كاملة \[T\]
  • \[T = \frac{2π}{ ω} =2π \sqrt \frac{m}{k}\]
  • التواتر: هو عدد الاهتزازات الكاملة الحادثة في الثانية الواحدة \[f\]
  • \[f =\frac{ 1}{T}\]
  • مهم: T لا يعتمد على السعة Xmax (نواس مرن غير مخمَّد وضمن المرونة).
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \quad \text{و} \quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \]
5) الطاقة في النواس المرن (بدون احتكاك):
  • الطاقة الكامنة المرونية: \[Ep =\frac{ 1}{2} k x²\]
  • الطاقة الحركية: \[Ek = ½ m v²\]
  • الطاقة الميكانيكية ثابتة: \[E = Ep + Ek = ½ k X_{max}²\]
  • عند x=±Xmax: v=0 ⇒ Ek=0 و Ep أعظمية.
  • عند x=0: Ep=0 ⇒ Ek أعظمية والسرعة أعظمية.
\[ E = \frac{1}{2}kX_{max}^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 \]
تنبيه مهم: في الاشتقاق أعلاه اعتبرنا مقاسًا من موضع التوازن، لذلك ظهرت معادلة مباشرة.

أسئلة الاختيار من متعدد (15 سؤال) ومسائل عالية المستوى

اختبار تفاعلي مع شرح مفصل للحلول
1
عندما نعلق كتلة m بنابض ثابت المرونة k في حالة سكون، فإن استطالة النابض تساوي:

الحل:

في حالة السكون، يكون الوزن متوازنًا مع قوة النابض:

mg = kx₀ ⇒ x₀ = mg/k

لذا الإجابة الصحيحة هي: mg/k

2
معادلة الحركة التفاضلية للنواس المرن (كتلة معلقة بنابض) هي:

الحل:

من قانون نيوتن الثاني: ma = -kx

بالتعويض a = x″ نحصل على: mx″ = -kx ⇒ x″ + (k/m)x = 0

لذا الإجابة الصحيحة هي: x″ + (k/m)x = 0

3
التردد الزاوي (النبض) للنواس المرن يعطى بالعلاقة:

الحل:

من حل المعادلة التفاضلية x″ + (k/m)x = 0، نجد أن:

ω² = k/m ⇒ ω = √(k/m)

لذا الإجابة الصحيحة هي: ω = √(k/m)

4
دور اهتزاز النواس المرن (الزمن الدوري) يعطى بالعلاقة:

الحل:

الدور T هو مقلوب التردد f، وعلاقته بالتردد الزاوي ω هي:

T = 2π/ω = 2π/√(k/m) = 2π√(m/k)

لذا الإجابة الصحيحة هي: T = 2π√(m/k)

5
عندما تكون الإزاحة قصوى (x = Xₘₐₓ) في النواس المرن، فإن السرعة تكون:

الحل:

عند النقاط القصوى (x = ±Xₘₐₓ)، يتوقف الجسم لحظياً قبل أن يعكس اتجاه حركته، لذا تكون السرعة لحظياً صفراً.

لذا الإجابة الصحيحة هي: مساوية للصفر

6
الطاقة الكلية (الميكانيكية) في النواس المرن المثالي (بدون احتكاك):

الحل:

في النواس المرن المثالي (بدون قوى dissipative مثل الاحتكاك)، الطاقة الميكانيكية الكلية تبقى محفوظة.

E = Eₖ + Eₚ = ½kXₘₐₓ² = ثابت

لذا الإجابة الصحيحة هي: ثابتة

7
عند موضع التوازن (x = 0) في النواس المرن، تكون:

الحل:

عند موضع التوازن (x = 0):

  • الطاقة الكامنة المرونية Eₚ = ½kx² = 0
  • السرعة أعظمية ⇒ الطاقة الحركية أعظمية
  • القوة F = -kx = 0

لذا الإجابة الصحيحة هي: الطاقة الحركية أعظمية

8
إذا زادت كتلة الجسم المعلق في النواس المرن 4 مرات، فإن الدور سوف:

الحل:

الدور T = 2π√(m/k)

إذا زادت m إلى 4m ⇒ T' = 2π√(4m/k) = 2π × 2√(m/k) = 2T

أي أن الدور يزداد مرتين.

لذا الإجابة الصحيحة هي: يزداد مرتين

9
إذا زاد ثابت المرونة k للنابض 4 مرات، فإن التردد سوف:

الحل:

التردد f = (1/2π)√(k/m)

إذا زاد k إلى 4k ⇒ f' = (1/2π)√(4k/m) = (1/2π) × 2√(k/m) = 2f

أي أن التردد يزداد مرتين.

لذا الإجابة الصحيحة هي: يزداد مرتين

10
السرعة القصوى للكتلة في النواس المرن تعطى بالعلاقة:

الحل:

من معادلة الحركة: v(t) = -ωXₘₐₓ sin(ωt + φ₀)

القيمة القصوى للسرعة تحدث عندما |sin(ωt + φ₀)| = 1

إذن: vₘₐₓ = ωXₘₐₓ

لذا الإجابة الصحيحة هي: vₘₐₓ = ωXₘₐₓ

مسائل عالية المستوى (5 مسائل)

المسألة 1:

نواس مرن كتلته 0.5 kg وثابت مرونة نابضه 200 N/m. إذا سحب الكتلة مسافة 0.1 m من موضع التوازن ثم ترك ليهتز، أحسب:

  1. التردد الزاوي والدور والتردد
  2. السرعة القصوى والعجلة القصوى
  3. الطاقة الكلية للنظام
  4. السرعة عندما تكون الإزاحة 0.05 m

حل المسألة 1:

m = 0.5 kg, k = 200 N/m, Xₘₐₓ = 0.1 m

ω = √(k/m) = √(200/0.5) = √400 = 20 rad/s

T = 2π/ω = 2π/20 = π/10 ≈ 0.314 s

f = 1/T = 10/π ≈ 3.18 Hz

vₘₐₓ = ωXₘₐₓ = 20 × 0.1 = 2 m/s

aₘₐₓ = ω²Xₘₐₓ = 400 × 0.1 = 40 m/s²

E = ½kXₘₐₓ² = ½ × 200 × 0.01 = 1 J

v عند x=0.05: v = ω√(Xₘₐₓ² - x²) = 20√(0.01 - 0.0025)= 20√0.0075 ≈ 1.732 m/s

المسألة 2:

نواس مرن يهتز بحيث تكون عجلته القصوى 50 m/s² عندما تكون سرعته القصوى 2 m/s. أحسب سعة الاهتزاز والتردد الزاوي.

حل المسألة 2:

aₘₐₓ = 50, vₘₐₓ = 2

ω = aₘₐₓ / vₘₐₓ = 50/2 = 25 rad/s

Xₘₐₓ = vₘₐₓ/ω = 2/25 = 0.08 m

المسألة 3:

نواس مرن طاقته الكلية 8 J وكتلته 2 kg وتردده 2 Hz. أحسب:

  1. ثابت مرونة النابض
  2. سعة الاهتزاز
  3. السرعة عندما تكون الطاقة الحركية ضعف الطاقة الكامنة

حل المسألة 3:

E=8J, m=2kg, f=2Hz

ω = 2πf = 4π rad/s

k = mω² = 2(4π)² = 32π² ≈ 315.8 N/m

Xₘₐₓ = √(2E/k) = √(16/(32π²)) = 1/(π√2) ≈ 0.225 m

عندما Eₖ = 2Eₚ ⇒ Eₚ = E/3 ⇒ Eₖ = 2E/3

½mv² = 2E/3 ⇒ v = √(4E/(3m)) = √(32/6) = √(16/3) ≈ 2.31 m/s

المسألة 4:

نواس مرن يهتز بحيث تكون سرعته 1 m/s عندما تكون إزاحته 0.05 m، وتكون سرعته 0.5 m/s عندما تكون إزاحته 0.08 m. أحسب سعة الاهتزاز والتردد الزاوي.

حل المسألة 4:

v = ω√(X² - x²)

1 = ω√(X² - 0.0025) ...(1)

0.5 = ω√(X² - 0.0064) ...(2)

بقسمة (1)/(2): 2 = √[(X²-0.0025)/(X²-0.0064)]

4(X²-0.0064) = X² - 0.0025 ⇒ 3X² = 0.0231 ⇒ X²=0.0077 ⇒ X≈0.08775 m

ω = 1/√(0.0077-0.0025) ≈ 13.87 rad/s

المسألة 5:

نواس مرن مكون من كتلة 0.2 kg معلقة بنابض. عندما نزيح الكتلة 0.05 m من موضع التوازن ونتركها، نجد أنها تكمل 20 اهتزازة كاملة في 10 ثوان. أحسب:

  1. ثابت مرونة النابض
  2. الطاقة الكلية للنظام
  3. معادلة الحركة إذا بدأ الحركة من السكون عند الإزاحة القصوى

حل المسألة 5:

m=0.2kg, Xₘₐₓ=0.05m، 20 اهتزازة في 10s

T = 10/20 = 0.5 s ⇒ f = 2 Hz

ω = 2πf = 4π ≈ 12.57 rad/s

k = mω² = 0.2(4π)² = 3.2π² ≈ 31.58 N/m

E = ½kX² = ½×31.58×(0.05)² ≈ 0.0395 J

x(t)=0.05 cos(4πt)

v(t)= -0.2π sin(4πt)

a(t)= -0.8π² cos(4πt)

الشكل العام لتابع المطال

x(t) = Xmax · cos(ω₀t + φ)

حيث:

  • x(t): المطال (الإزاحة) عند الزمن t
  • Xmax: السعة القصوى (المطال الأعظمي)
  • ω₀: النبض الزاوي (التردد الزاوي)
  • φ: الطور الابتدائي

حالة خاصة: عندما يكون الجسم في مطاله الأعظمي الموجب عند t=0

إذا كان الجسم عند x = +Xmax في اللحظة t=0، فإن:

x(0) = Xmax · cos(φ) = +Xmax ⇒ cos(φ) = 1 ⇒ φ = 0

وبالتالي يصبح التابع مختزلاً إلى:

x(t) = Xmax · cos(ω₀t)

وبما أن ω₀ = 2π/T، حيث T هو الدور، يصبح:

x(t) = Xmax · cos(2πt/T)

محاكاة تفاعلية للحركة التوافقية

1.0 م
4.0 ث
0.0 راديان

جدول تغيرات المطال بدلالة الزمن

الزمن t 0 T/4 T/2 3T/4 T
المطال x +Xmax 0 -Xmax 0 +Xmax

الأسئلة التفاعلية:

  1. أرسم المنحني البياني لتغيرات المطال بدلالة الزمن خلال دور كامل.
  2. أحدد المواضع التي يأخذ فيها المطال:
    • قيمة عظمى (طويلة)
    • قيمة معدومة
  3. أحدد مطال الجسم في اللحظة t = 3T/2.

الاستنتاج:

  • المطال أعظمي |x| = Xmax في الموضعين الطرفيين
  • المطال معدوم x = 0 في مركز الاهتزاز

تابع السرعة

تابع السرعة هو المشتق الأول لتابع المطال بالنسبة للزمن:

v(t) = dx/dt = -Xmax·ω₀·sin(ω₀t + φ)
v(t) = -Xmax·(2π/T)·sin(2πt/T + φ)
الزمن t 0 T/4 T/2 3T/4 T
السرعة v 0 -Xmax·ω₀ 0 +Xmax·ω₀ 0

الأسئلة التفاعلية:

  1. أرسم المنحني البياني لتغيرات السرعة بدلالة الزمن خلال دور كامل.
  2. أحدد المواضع التي تأخذ فيها السرعة:
    • قيمة عظمى (طويلة)
    • قيمة معدومة
  3. أحدد قيمة سرعة الجسم، وجهة حركته في اللحظة t = 5T/4.

الاستنتاج:

  • السرعة أعظمي |v| = Xmax·ω₀ لحظة المرور في مركز الاهتزاز
  • السرعة معدومة v = 0 لحظة الوجود في المطالين الأعظميين (الموضعين الطرفيين)

تابع التسارع

تابع التسارع هو المشتق الأول لتابع السرعة بالنسبة للزمن، وهو المشتق الثاني لتابع المطال:

a(t) = dv/dt = -Xmax·ω₀²·cos(ω₀t + φ)
a(t) = -ω₀²·x(t)
a(t) = -Xmax·(4π²/T²)·cos(2πt/T + φ)
الزمن t 0 T/4 T/2 3T/4 T
التسارع a -Xmax·ω₀² 0 +Xmax·ω₀² 0 -Xmax·ω₀²

الأسئلة التفاعلية:

  1. أرسم المنحني البياني لتغيرات التسارع بدلالة الزمن خلال دور كامل.
  2. أحدد المواضع التي يأخذ فيها التسارع:
    • قيمة عظمى (طويلة)
    • قيمة معدومة
  3. أحدد قيمة تسارع الجسم في اللحظة t = 5T/2.
  4. أتساءل: أثناء حركة الجسم، هل قيمة التسارع ثابتة أم متغيرة؟

الاستنتاج:

  • التسارع أعظمي |a| = Xmax·ω₀² لحظة الوجود في المطالين الأعظميين (الموضعين الطرفيين)
  • التسارع معدوم a = 0 عند المرور في مركز الاهتزاز
  • التسارع غير ثابت، تتغير قيمته بتغير قيمة المطال

الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة

الطاقة الميكانيكية للنواس المرن (غير المتخامد) هي مجموع الطاقتين: الكامنة المرونية والحركية:

Etot = Ep + Ek

الطاقة الكامنة المرونية للنابض:

Ep = ½·k·x² = ½·k·X²max·cos²(ω₀t + φ)

الطاقة الحركية للجسم:

Ek = ½·m·v² = ½·m·X²max·ω₀²·sin²(ω₀t + φ)

وبما أن ω₀² = k/m، تصبح الطاقة الكلية:

Etot = ½·k·X²max·[cos²(ω₀t + φ) + sin²(ω₀t + φ)] = ½·k·X²max = ثابت

نشاط تفاعلي:

  1. أحدد المواضع التي تكون فيها كل من الطاقتين الحركية والكامنة المرونية:
    • عظمى
    • معدومة

تطبيق عملي

نواس مرن أفقي مكون من جسم ونابض مرن تابع مطاله الزمني:

x(t) = 0.1·cos(πt + π)

المطلوب:

  1. حدد ثوابت الحركة لهذا النواس
  2. احسب دور الحركة T₀
  3. حدد موضع المتحرك (الجسم) في لحظة بدء الزمن

الحل:

اكتب ثوابت الحركة في الحقول أدناض ثم اضغط على "تحقق من الحل"

ملخص القوانين الهامة:

  • قوة الإرجاع: F = -k·x (تتناسب طرداً مع المطال وتعاكسه بالإشارة)
  • حركة النواس المرن: حركة انسحابية جيبية الشكل
  • دور النواس المرن: T = 2π√(m/k) أو ω₀ = √(k/m)
  • الطاقة الحركية: Ek = ½·m·v² = ½·m·X²max·ω₀²·sin²(ω₀t + φ)
  • الطاقة الكامنة المرونية: Ep = ½·k·x² = ½·k·X²max·cos²(ω₀t + φ)

أسئلة فيزياء مع الحلول التفاعلية

الجزء الأول: اختر الإجابة الصحيحة

[1 ★]

في الشكل المجاور، المطال الذي يصف حركة الهزازة الجيبية هو:

(شكل يوضح حركة هزازة جيبية مع البيانات
ω = 1 rad/s
Xmax = 8 cm
v₀ = 0 عند t = 0)

اختر الإجابة الصحيحة

A
x(t) = 0.08 cos(t + π/2)
B
x(t) = 0.08 cos(t - π/2)
C
x(t) = 0.08 cos(0.5t + π/2)
D
x(t) = 0.08 cos(t)
الحل الصحيح: A) x(t) = 0.08 cos(t + π/2)

الشرح:

من الشكل نلاحظ أن عند t=0 يكون x=0، والجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (جهة الحركة تشير إلى الموجب).

المعادلة العامة للحركة التوافقية البسيطة:

x(t) = A cos(ωt + φ)

حيث: A = 0.08 m (المطال)، ω = 1 rad/s (التردد الزاوي)

عند t=0:

x(0) = 0.08 cos(φ) = 0 ⇒ cos(φ) = 0 ⇒ φ = ±π/2

السرعة:

v(t) = -Aω sin(ωt + φ)

عند t=0:

v(0) = -0.08 × 1 × sin(φ) > 0 (لأن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب)

إذن:

-0.08 sin(φ) > 0 ⇒0> sin(φ) ⇒ φ = -π/2 أو φ = 3π/2

بالتالي:

x(t) = 0.08 cos(t - π/2) = 0.08 cos(t + π/2)

[2 ★]

الرسم البياني أدناه يمثل تغير السرعة مع الزمن لجسم مرتبط بنابض مرن يتحرك بحركة توافقية بسيطة، فيكون التابع الزمني للسرعة هو:

رسم بياني يوضح تغير السرعة مع الزمن: منحنى جيبي، السرعة القصوى
\[v_{max} = 0.2π m/s\]
الدور \[T= 2s\]

اختر الإجابة الصحيحة

A
v(t) = 0.2π cos(πt)
B
v(t) = -0.2π cos(πt)
C
v(t) = -0.2π sin(πt)
D
v(t) = 0.2π sin(πt)
الحل الصحيح: C) v(t) = -0.2π sin(πt)

الشرح:

من الرسم البياني نلاحظ أن:

  • السرعة القصوى v_max = 0.2π m/s
  • الدور T = 2 ثانية (من قمة إلى قمة)
  • عند t=0، السرعة = 0 وتتحرك في الاتجاه السالب (الميل سالب)

التردد الزاوي:

ω = 2π/T = 2π/2 = π rad/s

السرعة في الحركة التوافقية البسيطة:

v(t) = -Aω sin(ωt + φ)

حيث:

Aω = v_max = 0.2π ⇒ A = 0.2 m

عند t=0:

v(0) = -0.2π sin(φ) = 0 ⇒ sin(φ) = 0 ⇒ φ = 0 أو φ = π

المشتقة عند t=0 (التسارع):

a(0) = dv/dt عند t=0 ⇒0> -Aω² cos(φ) (لأن السرعة تتناقص)

إذن:

0>-0.2π² cos(φ) ⇒ cos(φ) > 0 ⇒ φ = 0

بالتالي:

v(t) = -0.2π sin(πt)


[3 ★]

الشكل المجاور يمثل هزازتين توافقيتين (1) و (2) تنطلقان من الموضع نفسه، وفي اللحظة نفسها، فإنهما بعد مضي 3 ثوان من بدء حركتهما:

شكل يوضح هزازتين: الأولى كتلتها \[m_1= 0.5 kg\] وثابت النابض\[ k₁=20 N/m\] الثانية كتلتها \[m_2=1 kg\] وثابت النابض \[k₂=10 N/m\]

اختر الإجابة الصحيحة

A
تلتقيان في مركز الاهتزاز
B
تلتقيان في الموضع
\[Xmax+\]
C
لا تلتقيان لأن
مطال الأولى \[ X_1max+\]
ومطال الثانية \[X_2max-\]
D
لا تلتقيان لأن
مطال الأولى \[ X_1max-\] ومطال الثانية \[X_2max+\]
الحل الصحيح: A) تلتقيان في مركز الاهتزاز

الشرح:

الدوران للهزازتين:

T₁ = 2π√(m₁/k₁) = 2π√(0.5/20) = 2π√(0.025) = 2π × 0.158 ≈ 1 ثانية
T₂ = 2π√(m₂/k₂) = 2π√(1/10) = 2π√(0.1) = 2π × 0.316 ≈ 2 ثانية

الترددان الزاويان:

ω₁ = 2π/T₁ = 2π rad/s
ω₂ = 2π/T₂ = π rad/s

بدون فقد للعمومية، نفترض أن الحركتين تبدأان من مركز الاهتزاز في الاتجاه الموجب:

x₁(t) = A sin(ω₁t) = A sin(2πt)
x₂(t) = A sin(ω₂t) = A sin(πt)

عند t = 3 ثوان:

x₁(3) = A sin(6π) = A × 0 = 0
x₂(3) = A sin(3π) = A × 0 = 0

إذن كلا الجسمين يكونان في مركز الاهتزاز عند t = 3 ثوان، وبالتالي يلتقيان.

الجزء الثاني: الإجابة عن الأسئلة

1
أثبت صحة العبارة: \[v² = ω² (A² - x²)\] في الحركة التوافقية البسيطة.
الإثبات

الخطوات:

    نبدأ من معادلة الحركة التوافقية البسيطة:
    x(t) = A cos(ωt + φ)

    نوجد السرعة بمفاضلة الإزاحة بالنسبة للزمن:
    v(t) = dx/dt = -Aω sin(ωt + φ)

    نستخدم العلاقة المثلثية\[sin²θ + cos²θ = 1\]
    من معادلة الإزاحة: cos(ωt + φ) = x/A
    من معادلة السرعة: sin(ωt + φ) = -v/(Aω)
    بتعويض في العلاقة المثلثية:
    (-v/(Aω))² + (x/A)² = 1

    نبسط المعادلة:
    v²/(A²ω²) + x²/A² = 1
    v²/(A²ω²) = 1 - x²/A²
    v²/(A²ω²) = (A² - x²)/A²

    نضرب الطرفين في A²ω²:
    v² = ω² (A² - x²)

وهو المطلوب إثباته.

2
في الشكل المجاور، نابض مرن مهمل الكتلة ثابت صلابته \[k\] مربوط به جسم كتلته \[m\] يمكن أن يتحرك على سطح أفقي أملس، نشد الجسم مسافة مناسبة ونتركه دون سرعة ابتدائية.
أ) ادرس حركة الجسم، واستنتج التابع الزمني للمطال.
ب) استنتج علاقة الطاقة الحركية للجسم بدلالة \[X_{max}\] في كل من الموضعين \[A\;\;و\;\;B\] حيث \[x_A = -\frac{X_{max}}{2}\] و \[x_B = +\frac{X_{max}}{√2}\]
الحل

الجزء (أ): دراسة حركة الجسم واستنتاج التابع الزمني للمطال

خطوات الحل:


    القوة المؤثرة على الجسم هي القوة المرنة للنابض: \[F = -k x\]
    بتطبيق قانون نيوتن الثاني: \[F = m a\]
    نحصل على: \[-k x = m a\] أو \[a = -(k/m) x\]
    بما أن \[a = d²x/dt²\]، تصبح المعادلة: \[d²x/dt² = -(k/m) x\]
    هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل حركة اهتزازية بسيطة. حل المعادلة يكون على الشكل: \[x(t) = A cos(ωt + φ)\]
    حيث:
      \[ω = √(k/m)\] هو التردد الزاوي للحركة
      \[A\] هو سعة الاهتزاز (المطال)
      \[φ\] هو ثابت الطور

النتيجة: التابع الزمني للمطال (الإزاحة) هو:

x(t) = X₀ cos(√(k/m) t)

حيث X₀ هي السعة الابتدائية (أقصى إزاحة).

الجزء (ب): علاقة الطاقة الحركية للجسم

الطاقة الحركية عند النقطة A:

x_A = -X_max/2
K_A = (1/2) k [X_max² - (X_max/2)²] = (1/2) k [X_max² - X_max²/4] = (1/2) k [3X_max²/4] = (3/8) k X_max²

الطاقة الحركية عند النقطة B:

x_B = +X_max/√2
K_B = (1/2) k [X_max² - (X_max/√2)²] = (1/2) k [X_max² - X_max²/2] = (1/2) k [X_max²/2] = (1/4) k X_max²

الاستنتاج: الطاقة الحركية عند النقطة A أكبر منها عند النقطة B لأن النقطة A أقرب إلى موضع الاتزان.

الجزء الثالث: حل المسائل

1
هزازة توافقية جيبية تتألف من نابض مرن شاقولي مهمل الكتلة ثابت صلابته \[k = 10 N/m\] مربوط به جسم كتلته m، ويعطى التابع الزمني لمطال حركتها بالعلاقة\[ x(t) = 0.1 cos(2t + π/2)\]
المطلوب:
1) أوجد قيم ثوابت الحركة ودورها الخاص.
2) احسب كتلة الجسم m.
3) احسب قيمة السرعة في موضع مطاله، والجسم يتحرك بالاتجاه الموجب للمحور.
4) حدد موضع الجسم وجهة حركته لحظة بدء الزمن.
حل المسألة الأولى

1) ثوابت الحركة والدور الخاص:

من المعادلة: x(t) = 0.1 cos(2t + π/2)

    المطال: A = 0.1 m
    التردد الزاوي: ω = 2 rad/s
    الطور الابتدائي: φ = π/2 rad

الدور: T = 2π/ω = 2π/2 = π ≈ 3.14 s

2) حساب كتلة الجسم m:

التردد الزاوي: ω = √(k/m) ⇒ ω² = k/m ⇒ m = k/ω²

m = 10 / (2)² = 10 / 4 = 2.5 kg

3) السرعة في موضع المطال:

في موضع المطال (x = ±A)، تكون السرعة صفراً لأن الطاقة الحركية تتحول كلها إلى طاقة كامنة.

لكن إذا كان المقصود عندما يمر بموضع المطال، فإن v = 0.

السرعة العامة: v(t) = dx/dt = -0.1 × 2 sin(2t + π/2) = -0.2 sin(2t + π/2)

4) موضع الجسم وجهة حركته عند t=0:

عند t=0: x(0) = 0.1 cos(π/2) = 0.1 × 0 = 0

السرعة عند t=0: v(0) = -0.2 sin(π/2) = -0.2 × 1 = -0.2 m/s

إذن: الجسم عند مركز الاهتزاز (x=0) ويتحرك في الاتجاه السالب.

المسألة الثانية
الرسم البياني المجاور يوضح تغير الطاقة الكامنة المرونية بتغير الموضع لهزازة توافقية بسيطة مؤلفة من نابض مرن مهمل الكتلة مربوط به جسم كتلته \[0.4 kg\]

المطلوب:
1) استنتج قيمة ثابت صلابة النابض k.
2) احسب الدور الخاص للحركة.
3) احسب قيمة السرعة عند المرور في مركز الاهتزاز.
[رسم بياني يوضح الطاقة الكامنة (E_p) مقابل الإزاحة (x)، يظهر منحنى على شكل قطع مكافئ، الطاقة العظمى = 0.05 J عند x = ±0.1 m]
حل المسألة الثانية

1) قيمة ثابت الصلابة k:

الطاقة الكامنة المرونية: U = ½kx²

من الرسم البياني: عندما x = 0.1 m، U = 0.05 J

0.05 = ½k(0.1)² ⇒ 0.05 = ½k(0.01) ⇒ 0.05 = 0.005k
k = 0.05 / 0.005 = 10 N/m

2) الدور الخاص:

ω = √(k/m) = √(10/0.4) = √25 = 5 rad/s
T = 2π/ω = 2π/5 ≈ 1.257 s

3) السرعة في مركز الاهتزاز:

في مركز الاهتزاز (x=0)، تتحول كل الطاقة الكامنة إلى طاقة حركية:

½mv_max² = U_max = 0.05 J
½ × 0.4 × v_max² = 0.05 ⇒ 0.2v_max² = 0.05 ⇒ v_max² = 0.05/0.2 = 0.25
v_max = √0.25 = 0.5 m/s
المسألة الثالثة
هزازة توافقية بسيطة من جسم كتلته \[m = 1 kg\] مربوط بطرف نابض مرن شاقولي مهمل الكتلة، في أثناء حركته ينجز 10 اهتزازات في 10 ثوان.
المطلوب:
1) استنتج عالقة الاستطالة السكونية لهذا النابض، ثم احسب قيمتها.
2) احسب قيمة السرعة العظمى (طويلة).
3) احسب قيمة التسارع في موضع \[x = 6 cm\]
4) احسب الطاقة الكامنة المرونية في موضع \[x = -4 cm\] واحسب الطاقة الحركية عندئذ.
حل المسألة الثالثة

1) الاستطالة السكونية:

التردد: f = عدد الاهتزازات/الزمن = 10/10 = 1 Hz

الدور: T = 1/f = 1 s

T = 2π√(m/k) ⇒ 1 = 2π√(1/k) ⇒ √(1/k) = 1/(2π) ⇒ 1/k = 1/(4π²)
k = 4π² ≈ 4 × 9.87 ≈ 39.48 N/m

الاستطالة السكونية (عند التوازن): mg = kΔy

Δy = mg/k = (1 × 9.8)/39.48 ≈ 0.248 m ≈ 24.8 cm

2) السرعة العظمى:

التردد الزاوي: ω = 2πf = 2π rad/s

لحساب السرعة العظمى نحتاج إلى المطال A (غير معطى). نفترض أن A صغير مقارنة بطول النابض.

إذا افترضنا A = 0.1 m (قيمة نموذجية):

v_max = Aω = 0.1 × 2π ≈ 0.628 m/s

3) التسارع عند x = 6 cm = 0.06 m:

a = -ω²x = -(2π)² × 0.06 = -4π² × 0.06 ≈ -39.48 × 0.06 ≈ -2.37 m/s²

4) الطاقة عند x = -4 cm = -0.04 m:

الطاقة الكامنة المرونية:

U = ½kx² = ½ × 39.48 × (0.04)² = 19.74 × 0.0016 ≈ 0.0316 J

الطاقة الحركية: نحتاج لمعرفة المطال A لحسابها. إذا افترضنا A = 0.1 m:

K = ½k(A² - x²) = ½ × 39.48 × (0.01 - 0.0016) = 19.74 × 0.0084 ≈ 0.1658 J

تفكير ناقد

تفكير ناقد
لديك الجملة الموضحة بالشكل والمؤلفة من نابضين متماثلين ثابت صلابة كل منهما \[k\] قمنا بإجراء تجربتين على الجملة إحداهما على الأرض والأخرى في المحطة الفضائية.
هل يختلف دور الاهتزاز للجملة أم لا؟ ولماذا؟
الإجابة

دور الاهتزاز للجملة لا يختلف بين الأرض والمحطة الفضائية.

السبب:

دور الاهتزاز للنظام الكتلي-النابضي يعطى بالعلاقة:\[ T = 2π\sqrt {\frac{m}{k}}\]

حيث:


    \[m\] كتلة الجسم المهتز
    \[k\] ثابت الصلابة للنابض (أو للنوابض المركبة)

هذه المعادلة لا تعتمد على الجاذبية، لأن قوة الارجاع في النابض تتناسب مع الاستطالة فقط\[ (F = -kx)\] ولا علاقة لها بالجاذبية.

في المحطة الفضائية (حالة انعدام الوزن)، تكون الجاذبية معدومة تأثيراً، لكن ثابت الصلابة \[k\] وكتلة \[m\] يبقان كما هما، وبالتالي يبقى الدور \[ T \]كما هو.

ما يتغير هو موضع التوازن فقط:


    على الأرض: هناك استطالة سكونية بسبب وزن الكتلة \[(Δy =\frac { mg}{k}\]
    في المحطة الفضائية: لا يوجد استطالة سكونية بسبب انعدام الوزن، وموضع التوازن يكون حيث النابض غير مشدود

لكن الاهتزاز حول موضع التوازن يكون بنفس التردد والدور في الحالتين.

تم إعداد هذه الأسئلة والحلول لطلبة الفيزياء - الحركة التوافقية البسيطة

No comments:

Post a Comment

🧮 Calculator
🗑️
✏️ قلم