Physics
📄 اطبع pdf
00971504825082
قواعد المتجهات
محصلة متجهين متعامدين
Resultant of Two Perpendicular Vectors
المفاهيم الأساسية
Basic Concepts
المتجهات المتعامدة هي متجهات تكون زاوية بينها 90 درجة.
Perpendicular vectors are vectors that form a 90-degree angle between them.
المعادلات الأساسية
Basic Equations
حجم المحصلة
Magnitude of Resultant
\[(R)=\sqrt {A² + B²}\]
الاتجاه
Direction
\[ (θ) = tan⁻¹ (\frac {B}{A})\]
المحاكاة التفاعلية
Interactive Simulation
حاسبة المحصلة
Resultant Calculator
التطبيقات العملية
Practical Applications
\[1\star\]
تحرك أحمد نحو الغرب مسافة \[60\;m\] ثم غير اتجاهه وتحرك مسافة قدرها \[80\;m\] نحو الجنوب فإن محصلة الازاحتين تعادل
Ahmed moved 60 m west, then changed direction and moved 80 m south. The resultant displacement equals:
\[ R=140 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=35.3^0 \;\;\;\;\;\; -C \]
جنوب الغرب
Southwest
\[ R=110 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=53^0 \;\;\;\;\;\; -A \]
غرب الجنوب
West of South
\[ R=100 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=53^0 \;\;\;\;\;\; -D \]
جنوب الغرب
Southwest
\[ R=120 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=36.9^0 \;\;\;\;\;\; -B \]
غرب الجنوب
West of South
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution method
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
2. الهندسة الإنشائية
2. Structural Engineering
في حساب القوى على الجسور حيث تكون القوى الأفقية والرأسية متعامدة:
In calculating forces on bridges where horizontal and vertical forces are perpendicular:
القوة المحصلة = √(F_horizontal² + F_vertical²)
Resultant force = √(F_horizontal² + F_vertical²)
الاشتقاق الرياضي
Mathematical Derivation
لاشتقاق معادلة المحصلة:
To derive the resultant equation:
1. نفرض متجهين \[ A و B\] متعامدين
1. Assume two perpendicular vectors \[ A and B\]
2. نستخدم خاصية جمع المتجهات
2. Use vector addition property
3. نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم
3. Apply Pythagorean theorem to the right triangle
\[R² = A² + B²\]
θ = ظا⁻¹(المكون الرأسي / المكون الأفقي)
θ = arctan(Vertical component / Horizontal component)
تمارين تطبيقية
Applied Exercises
1. إذا كان متجه أفقى قيمته 3 نيوتن ومتجه رأسي 4 نيوتن:
1. If a horizontal vector has a value of 3 N and a vertical vector 4 N:
\[R=\sqrt {3^2+4^2}\;N\]
<span class="arabic-text">تحليل المتجهات في بعدين</span>
<span class="english-text">Vector Analysis in Two Dimensions</span>
التحليل الشامل للمتجهات في بعدين
Comprehensive Analysis of Vectors in Two Dimensions
مقدمة في المتجهات
Introduction to Vectors
المتجهات هي كميات فيزيائية لها مقدار واتجاه، مثل القوة والسرعة. تختلف عن الكميات القياسية التي ليس لها اتجاه. في هذا التحليل سنتعمق في:
Vectors are physical quantities that have magnitude and direction, such as force and velocity. They differ from scalar quantities that have no direction. In this analysis, we will delve into:
-
تمثيل المتجهات رياضياً
Mathematical representation of vectors
-
تحليل المتجهات إلى مركبات
Decomposition of vectors into components
-
التطبيقات العملية في الفيزياء والهندسة
Practical applications in physics and engineering
التمثيل الرياضي للمتجهات
Mathematical Representation of Vectors
متجه في بعدين:
Vector in two dimensions:
\[A = A_xî + A_yĵ\]
حيث:
Where:
- المركبة الأفقية \[A_x\]
- Horizontal component \[A_x\]
- المركبة الرأسية \[A_y\]
- Vertical component \[A_y\]
- متجهات الوحدة الأساسية \[ î, ĵ\]
- Basic unit vectors \[ î, ĵ\]
تحليل المتجه إلى مركبات
Vector Decomposition into Components
\[A_x = |A| cosθ\]
\[A_y = |A| sinθ\]
مثال: متجه بقوة 50 نيوتن بزاوية 30 درجة مع المحور الأفقي
Example: A vector with a force of 50 N at an angle of 30 degrees to the horizontal axis
\[ A_x = 50 * cos(30°) ≈ 43.3 N\]
\[ A_y = 50 * sin(30°) = 25 N\]
جمع المتجهات
Vector Addition
\[ R = A + B = (A_x + B_x)î + (A_y + B_y)ĵ\]
مثال تطبيقي:
Applied example:
\[ A = 3î + 4ĵ\]
\[ B = 2î - 5ĵ\]
\[ R = (3+2)î + (4-5)ĵ = 5î - 1ĵ\]
التطبيقات العملية
Practical Applications
1. الملاحة الجوية
1. Air Navigation
عند حساب تأثير الرياح الجانبية:
When calculating the effect of crosswinds:
\[ V_{resultant} =\sqrt { V_{plane}^2 + V_{wind}^2}\]
2. الهندسة الإنشائية
2. Structural Engineering
حساب الإجهادات في الجسور:
Calculating stresses in bridges:
\[ σ_x =\frac { F}{A} cosθ\]
\[ σ_y =\frac { F}{A} sinθ\]
أداة محاكاة حساب المتجهات
Vector Calculation Simulation Tool
الاستنتاجات
Conclusions
تظهر الأهمية العملية لتحليل المتجهات في:
The practical importance of vector analysis appears in:
-
تصميم الأنظمة الميكانيكية
Design of mechanical systems
-
تحليل الحركة في الألعاب الإلكترونية
Motion analysis in video games
-
أنظمة تحديد المواقع GPS
GPS positioning systems
<span class="arabic-text">محصلة متجهين بطريقة جيب التمام</span>
<span class="english-text">Resultant of Two Vectors Using Cosine Law</span>
حساب محصلة متجهين باستخدام قانون جيب التمام
Calculating the Resultant of Two Vectors Using Cosine Law
المفاهيم الأساسية
Basic Concepts
تعرف المحصلة المتجهية بأنها...
The vector resultant is defined as...
معادلة المحصلة المطلقة:
Absolute resultant equation:
\[ R² = A² + B² + 2AB cosθ\]
معادلة اتجاه المحصلة:
Direction equation of the resultant:
\[ tanφ = \frac {B sinθ} {A + B cosθ}\]
الاشتقاق الرياضي
Mathematical Derivation
نبدأ بقانون جيب التمام للمثلثات...
We start with the cosine law for triangles...
لنفترض متجهين \[ A وB \] بينهما زاوية \[ θ\]
Assume two vectors \[ A and B \] with an angle \[ θ\] between them
\[ R² = A² + B² - 2AB cos(180° - θ)\]
وبما أن \[cos(180° - θ) = -cosθ\]
And since \[cos(180° - θ) = -cosθ\]
\[ ∴ R² = A² + B² + 2AB cosθ\]
التطبيق العملي
Practical Application
مثال 1: قوى ميكانيكية
Example 1: Mechanical Forces
إذا أثرت قوة مقدارها 50 نيوتن بزاوية 60 درجة على قوة أخرى مقدارها 30 نيوتن:
If a force of 50 N acts at an angle of 60 degrees on another force of 30 N:
\[R = \sqrt {(50² + 30² + 2*50*30*cos60°)}\]
\[ R = \sqrt {(2500 + 900 + 1500)} = \sqrt {4900} = 70 \;N\]
تطبيق حاسوبي
Computer Application
تطبيقات عملية
Practical Applications
-
هندسة الإنشاءات: حساب القوى المؤثرة على الجسور
Construction engineering: Calculating forces acting on bridges
-
الملاحة الجوية: تحديد اتجاه الطائرة
Air navigation: Determining aircraft direction
-
الهندسة الكهربائية: جمع الجهود المتغيرة
Electrical engineering: Summing varying voltages
الخاتمة
Conclusion
تعتبر هذه الطريقة أساسية في...
This method is fundamental in...
<span class="arabic-text">عمليات الجمع والطرح على المتجهات ثلاثية الأبعاد</span>
<span class="english-text">Addition and Subtraction Operations on 3D Vectors</span>
العمليات على المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد
Operations on Vectors in Three-Dimensional Space
المفاهيم الأساسية
Basic Concepts
تعريف المتجهات
Definition of Vectors
المتجه في الرياضيات هو كمية لها مقدار واتجاه. في الفضاء الثلاثي الأبعاد، يُعبر عن المتجه عادة باستخدام ثلاث مركبات
A vector in mathematics is a quantity that has magnitude and direction. In three-dimensional space, a vector is usually expressed using three components
الرمز الرياضي:
Mathematical Symbol:
\[A = (A_xî + A_yĵ + A_zk̂)\]
العمليات الأساسية
Basic Operations
جمع المتجهات
Vector Addition
المعادلة الرياضية:
Mathematical Equation:
\[ A + B =(A_x+B_x)î + (A_y+B_y)ĵ + (A_z+B_z)k̂\]
طرح المتجهات
Vector Subtraction
المعادلة الرياضية:
Mathematical Equation:
\[ A - B =(A_x-B_x)î + (A_y-B_y)ĵ + (A_z-B_z)k̂\]
التطبيقات العملية
Practical Applications
في الهندسة الميكانيكية
In Mechanical Engineering
-
حساب القوى المحصلة في أنظمة الجسور
Calculating resultant forces in bridge systems
-
تحليل الإجهادات في الهياكل المعقدة
Stress analysis in complex structures
في الرسوميات الحاسوبية
In Computer Graphics
-
تحريك النماذج ثلاثية الأبعاد
Animating 3D models
-
حساب الإضاءة والظلال
Calculating lighting and shadows
خاتمة
Conclusion
تعتبر عمليات المتجهات أساسية في العديد من التطبيقات التكنولوجية الحديثة بدءًا من أنظمة الملاحة الجوية وحتى محركات الألعاب ثلاثية الأبعاد...
Vector operations are fundamental in many modern technological applications, from air navigation systems to 3D game engines...
<span class="arabic-text">الضرب القياسي والاتجاهي للمتجهات ثلاثية الأبعاد</span>
<span class="english-text">Scalar and Vector Products of 3D Vectors</span>
الضرب القياسي والاتجاهي للمتجهات ثلاثية الأبعاد
Scalar and Vector Products of 3D Vectors
المقدمة
Introduction
في الرياضيات والفيزياء، تُعتبر عمليات الضرب على المتجهات من الأدوات الأساسية لفهم العلاقات بين الكميات المتجهة. سنستعرض في هذا الشرح:
In mathematics and physics, multiplication operations on vectors are fundamental tools for understanding relationships between vector quantities. In this explanation, we will review:
-
الضرب القياسي (Dot Product)
Scalar Product (Dot Product)
-
الضرب الاتجاهي (Cross Product)
Vector Product (Cross Product)
-
التطبيقات العملية لكل منهما
Practical applications of each
الضرب القياسي (Dot Product)
Scalar Product (Dot Product)
التعريف الهندسي
Geometric Definition
\[a · b = |a||b|cosθ\]
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين
where θ is the angle between the vectors
الصيغة الجبرية
Algebraic Formula
إذا كان:
If:
\[ a = (a_x, a_y, a_z)\]
\[ b= (b_x, b_y, b_z)\]
فإن:
Then:
\[a · b = a_x.b_x + a_y.b_y + a_z.b_z\]
مثال عملي
Practical Example
\[\vec A=(3î , -5ĵ , 2k̂)\]
\[\vec B=(7î , 1ĵ , -4k̂)\]
\[\vec A.\vec B=(3×7)+(-5×1)+(2×-4)=21-5-8=8\]
الخصائص
Properties
-
نتيجة عملية الضرب كمية قياسية
The result of the multiplication is a scalar quantity
-
تتبع خاصية التوزيع: \[ a·(b+c) = a·b + a·c\]
Follows the distributive property: \[ a·(b+c) = a·b + a·c\]
-
إيجابية عندما تكون الزاوية حادة
Positive when the angle is acute
الضرب الاتجاهي (Cross Product)
Vector Product (Cross Product)
التعريف الهندسي
Geometric Definition
\[|a × b| = |a||b|sinθ\]
الاتجاه عمودي على المستوي المحدد بالمتجهين
The direction is perpendicular to the plane defined by the two vectors
الصيغة الجبرية
Algebraic Formula
\[ a × b =\]
\[\begin{bmatrix}
i & j & k \\
a_X & a_Y & a_Z \\
b_X& b_Y & b_Z
\end{bmatrix}\]
مثال عملي
Practical Example
الضرب الاتجاهي
Cross Product
\[\vec A=(2î , 1ĵ , -3k̂)\]
\[\vec B=(4î , -1ĵ , 5k̂)\]
\[\vec A×\vec B=(1×5)-(-3×-1)î ,(-3×4)-(2×5)ĵ,(2×-1)-(1×4)k̂=(2î ,-22ĵ ,-6k̂ )\]
الخصائص
Properties
-
النتيجة متجه جديد
The result is a new vector
-
غير تبديلي:\[ a × b = -(b × a)\]
Not commutative: \[ a × b = -(b × a)\]
-
مقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع
Its magnitude equals the area of the parallelogram
التطبيقات العملية
Practical Applications
الضرب القياسي في الحياة العملية
Scalar Product in Practical Life
-
حساب الشغل:
Work calculation:
الشغل = القوة · الإزاحة
Work = Force · Displacement
-
الرسومات الحاسوبية:
Computer graphics:
حساب الإضاءة باستخدام الزاوية بين متجه الضوء والسطح
Calculating lighting using the angle between the light vector and the surface
-
الملاحة:
Navigation:
تحديد اتجاه الحركة بالنسبة لاتجاه الريح
Determining direction of movement relative to wind direction
الضرب الاتجاهي في الحياة العملية
Vector Product in Practical Life
-
عزم الدوران:
Torque:
\[ τ = r × F\]
-
المجالات المغناطيسية:
Magnetic fields:
\[ F = q(v × B)\]
-
الهندسة:
Geometry:
حساب المساحات والحجوم
Calculating areas and volumes
الفرق الجوهري بينهما
Fundamental Difference Between Them
الخاصية
Property
الضرب القياسي
Scalar Product
الضرب الاتجاهي
Vector Product
ناتج العملية
Operation Result
عدد قياسي
Scalar
متجه
Vector
الاتجاه
Direction
لا يوجد
None
عمودي على المستوي
Perpendicular to the plane
التبادلية
Commutativity
\[a·b = b·a\] \[a×b = -b×a\]
التطبيقات المتقدمة
Advanced Applications
في الهندسة الميكانيكية
In Mechanical Engineering
حساب عزم القصور الذاتي:
Calculating moment of inertia:
\[ I = Σm_i (r_i × v_i)\]
في الفيزياء الفلكية
In Astrophysics
حساب الزخم الزاوي:
Calculating angular momentum:
\[L = r × p\]
الخاتمة
Conclusion
تعتبر هذه العمليات من الركائز الأساسية في:
These operations are among the fundamental pillars in:
-
النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية
Mathematical modeling of natural phenomena
-
تطوير الخوارزميات في علوم الحاسب
Developing algorithms in computer science
-
تصميم الأنظمة الهندسية المعقدة
Designing complex engineering systems
قواعد المتجهات
المفاهيم الأساسية Basic Concepts
المتجهات المتعامدة هي متجهات تكون زاوية بينها 90 درجة. Perpendicular vectors are vectors that form a 90-degree angle between them.
المعادلات الأساسية Basic Equations
حجم المحصلة Magnitude of Resultant \[(R)=\sqrt {A² + B²}\]
الاتجاه Direction \[ (θ) = tan⁻¹ (\frac {B}{A})\]
المحاكاة التفاعلية Interactive Simulation
حاسبة المحصلة Resultant Calculator
التطبيقات العملية Practical Applications
\[1\star\]
تحرك أحمد نحو الغرب مسافة \[60\;m\] ثم غير اتجاهه وتحرك مسافة قدرها \[80\;m\] نحو الجنوب فإن محصلة الازاحتين تعادل Ahmed moved 60 m west, then changed direction and moved 80 m south. The resultant displacement equals:
|
\[ R=140 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=35.3^0 \;\;\;\;\;\; -C \]
|
\[ R=110 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=53^0 \;\;\;\;\;\; -A \]
|
|
\[ R=100 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=53^0 \;\;\;\;\;\; -D \]
|
\[ R=120 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=36.9^0 \;\;\;\;\;\; -B \]
|
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution method
أختر الإجابة الصحيحة Choose the correct answer
2. الهندسة الإنشائية 2. Structural Engineering
في حساب القوى على الجسور حيث تكون القوى الأفقية والرأسية متعامدة:
In calculating forces on bridges where horizontal and vertical forces are perpendicular:
القوة المحصلة = √(F_horizontal² + F_vertical²)
Resultant force = √(F_horizontal² + F_vertical²)
الاشتقاق الرياضي Mathematical Derivation
لاشتقاق معادلة المحصلة:
To derive the resultant equation:
1. نفرض متجهين \[ A و B\] متعامدين
1. Assume two perpendicular vectors \[ A and B\]
2. نستخدم خاصية جمع المتجهات
2. Use vector addition property
3. نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم
3. Apply Pythagorean theorem to the right triangle
\[R² = A² + B²\]
θ = ظا⁻¹(المكون الرأسي / المكون الأفقي) θ = arctan(Vertical component / Horizontal component)
تمارين تطبيقية Applied Exercises
1. إذا كان متجه أفقى قيمته 3 نيوتن ومتجه رأسي 4 نيوتن: 1. If a horizontal vector has a value of 3 N and a vertical vector 4 N: \[R=\sqrt {3^2+4^2}\;N\]
التحليل الشامل للمتجهات في بعدين Comprehensive Analysis of Vectors in Two Dimensions
مقدمة في المتجهات Introduction to Vectors
المتجهات هي كميات فيزيائية لها مقدار واتجاه، مثل القوة والسرعة. تختلف عن الكميات القياسية التي ليس لها اتجاه. في هذا التحليل سنتعمق في: Vectors are physical quantities that have magnitude and direction, such as force and velocity. They differ from scalar quantities that have no direction. In this analysis, we will delve into:
- تمثيل المتجهات رياضياً Mathematical representation of vectors
- تحليل المتجهات إلى مركبات Decomposition of vectors into components
- التطبيقات العملية في الفيزياء والهندسة Practical applications in physics and engineering
التمثيل الرياضي للمتجهات Mathematical Representation of Vectors
متجه في بعدين: Vector in two dimensions: \[A = A_xî + A_yĵ\]
حيث:
Where:
- المركبة الأفقية \[A_x\]
- Horizontal component \[A_x\]
- المركبة الرأسية \[A_y\]
- Vertical component \[A_y\]
- متجهات الوحدة الأساسية \[ î, ĵ\]
- Basic unit vectors \[ î, ĵ\]
تحليل المتجه إلى مركبات Vector Decomposition into Components
\[A_x = |A| cosθ\]\[A_y = |A| sinθ\]
مثال: متجه بقوة 50 نيوتن بزاوية 30 درجة مع المحور الأفقي Example: A vector with a force of 50 N at an angle of 30 degrees to the horizontal axis
\[ A_x = 50 * cos(30°) ≈ 43.3 N\]\[ A_y = 50 * sin(30°) = 25 N\]
جمع المتجهات Vector Addition
\[ R = A + B = (A_x + B_x)î + (A_y + B_y)ĵ\]مثال تطبيقي: Applied example:
\[ A = 3î + 4ĵ\]\[ B = 2î - 5ĵ\]
\[ R = (3+2)î + (4-5)ĵ = 5î - 1ĵ\]
التطبيقات العملية Practical Applications
1. الملاحة الجوية 1. Air Navigation
عند حساب تأثير الرياح الجانبية: When calculating the effect of crosswinds:
\[ V_{resultant} =\sqrt { V_{plane}^2 + V_{wind}^2}\]2. الهندسة الإنشائية 2. Structural Engineering
حساب الإجهادات في الجسور: Calculating stresses in bridges:
\[ σ_x =\frac { F}{A} cosθ\]\[ σ_y =\frac { F}{A} sinθ\]
أداة محاكاة حساب المتجهات Vector Calculation Simulation Tool
الاستنتاجات Conclusions
تظهر الأهمية العملية لتحليل المتجهات في: The practical importance of vector analysis appears in:
- تصميم الأنظمة الميكانيكية Design of mechanical systems
- تحليل الحركة في الألعاب الإلكترونية Motion analysis in video games
- أنظمة تحديد المواقع GPS GPS positioning systems
حساب محصلة متجهين باستخدام قانون جيب التمام Calculating the Resultant of Two Vectors Using Cosine Law
المفاهيم الأساسية Basic Concepts
تعرف المحصلة المتجهية بأنها... The vector resultant is defined as...
معادلة المحصلة المطلقة: Absolute resultant equation:\[ R² = A² + B² + 2AB cosθ\] معادلة اتجاه المحصلة: Direction equation of the resultant:
\[ tanφ = \frac {B sinθ} {A + B cosθ}\]
الاشتقاق الرياضي Mathematical Derivation
نبدأ بقانون جيب التمام للمثلثات... We start with the cosine law for triangles...
لنفترض متجهين \[ A وB \] بينهما زاوية \[ θ\] Assume two vectors \[ A and B \] with an angle \[ θ\] between them
\[ R² = A² + B² - 2AB cos(180° - θ)\]وبما أن \[cos(180° - θ) = -cosθ\] And since \[cos(180° - θ) = -cosθ\]
\[ ∴ R² = A² + B² + 2AB cosθ\]
التطبيق العملي Practical Application
مثال 1: قوى ميكانيكية Example 1: Mechanical Forces
إذا أثرت قوة مقدارها 50 نيوتن بزاوية 60 درجة على قوة أخرى مقدارها 30 نيوتن: If a force of 50 N acts at an angle of 60 degrees on another force of 30 N:
\[R = \sqrt {(50² + 30² + 2*50*30*cos60°)}\]\[ R = \sqrt {(2500 + 900 + 1500)} = \sqrt {4900} = 70 \;N\]
تطبيق حاسوبي Computer Application
تطبيقات عملية Practical Applications
- هندسة الإنشاءات: حساب القوى المؤثرة على الجسور Construction engineering: Calculating forces acting on bridges
- الملاحة الجوية: تحديد اتجاه الطائرة Air navigation: Determining aircraft direction
- الهندسة الكهربائية: جمع الجهود المتغيرة Electrical engineering: Summing varying voltages
الخاتمة Conclusion
تعتبر هذه الطريقة أساسية في... This method is fundamental in...
العمليات على المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد Operations on Vectors in Three-Dimensional Space
المفاهيم الأساسية Basic Concepts
تعريف المتجهات Definition of Vectors
المتجه في الرياضيات هو كمية لها مقدار واتجاه. في الفضاء الثلاثي الأبعاد، يُعبر عن المتجه عادة باستخدام ثلاث مركبات A vector in mathematics is a quantity that has magnitude and direction. In three-dimensional space, a vector is usually expressed using three components
الرمز الرياضي: Mathematical Symbol:
\[A = (A_xî + A_yĵ + A_zk̂)\]العمليات الأساسية Basic Operations
جمع المتجهات Vector Addition
المعادلة الرياضية:
Mathematical Equation:
\[ A + B =(A_x+B_x)î + (A_y+B_y)ĵ + (A_z+B_z)k̂\]
طرح المتجهات Vector Subtraction
المعادلة الرياضية:
Mathematical Equation:
\[ A - B =(A_x-B_x)î + (A_y-B_y)ĵ + (A_z-B_z)k̂\]
التطبيقات العملية Practical Applications
في الهندسة الميكانيكية In Mechanical Engineering
- حساب القوى المحصلة في أنظمة الجسور Calculating resultant forces in bridge systems
- تحليل الإجهادات في الهياكل المعقدة Stress analysis in complex structures
في الرسوميات الحاسوبية In Computer Graphics
- تحريك النماذج ثلاثية الأبعاد Animating 3D models
- حساب الإضاءة والظلال Calculating lighting and shadows
خاتمة Conclusion
تعتبر عمليات المتجهات أساسية في العديد من التطبيقات التكنولوجية الحديثة بدءًا من أنظمة الملاحة الجوية وحتى محركات الألعاب ثلاثية الأبعاد... Vector operations are fundamental in many modern technological applications, from air navigation systems to 3D game engines...
الضرب القياسي والاتجاهي للمتجهات ثلاثية الأبعاد Scalar and Vector Products of 3D Vectors
المقدمة Introduction
في الرياضيات والفيزياء، تُعتبر عمليات الضرب على المتجهات من الأدوات الأساسية لفهم العلاقات بين الكميات المتجهة. سنستعرض في هذا الشرح: In mathematics and physics, multiplication operations on vectors are fundamental tools for understanding relationships between vector quantities. In this explanation, we will review:
- الضرب القياسي (Dot Product) Scalar Product (Dot Product)
- الضرب الاتجاهي (Cross Product) Vector Product (Cross Product)
- التطبيقات العملية لكل منهما Practical applications of each
الضرب القياسي (Dot Product) Scalar Product (Dot Product)
التعريف الهندسي Geometric Definition
\[a · b = |a||b|cosθ\]حيث θ هي الزاوية بين المتجهين where θ is the angle between the vectors
الصيغة الجبرية Algebraic Formula
إذا كان: If:\[ a = (a_x, a_y, a_z)\] \[ b= (b_x, b_y, b_z)\]
فإن: Then:
\[a · b = a_x.b_x + a_y.b_y + a_z.b_z\]
مثال عملي Practical Example
\[\vec A=(3î , -5ĵ , 2k̂)\] \[\vec B=(7î , 1ĵ , -4k̂)\] \[\vec A.\vec B=(3×7)+(-5×1)+(2×-4)=21-5-8=8\]الخصائص Properties
- نتيجة عملية الضرب كمية قياسية The result of the multiplication is a scalar quantity
- تتبع خاصية التوزيع: \[ a·(b+c) = a·b + a·c\] Follows the distributive property: \[ a·(b+c) = a·b + a·c\]
- إيجابية عندما تكون الزاوية حادة Positive when the angle is acute
الضرب الاتجاهي (Cross Product) Vector Product (Cross Product)
التعريف الهندسي Geometric Definition
\[|a × b| = |a||b|sinθ\]الاتجاه عمودي على المستوي المحدد بالمتجهين The direction is perpendicular to the plane defined by the two vectors
الصيغة الجبرية Algebraic Formula
\[ a × b =\] \[\begin{bmatrix} i & j & k \\ a_X & a_Y & a_Z \\ b_X& b_Y & b_Z \end{bmatrix}\]مثال عملي Practical Example
الضرب الاتجاهي Cross Product\[\vec A=(2î , 1ĵ , -3k̂)\] \[\vec B=(4î , -1ĵ , 5k̂)\] \[\vec A×\vec B=(1×5)-(-3×-1)î ,(-3×4)-(2×5)ĵ,(2×-1)-(1×4)k̂=(2î ,-22ĵ ,-6k̂ )\]
الخصائص Properties
- النتيجة متجه جديد The result is a new vector
- غير تبديلي:\[ a × b = -(b × a)\] Not commutative: \[ a × b = -(b × a)\]
- مقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع Its magnitude equals the area of the parallelogram
التطبيقات العملية Practical Applications
الضرب القياسي في الحياة العملية Scalar Product in Practical Life
- حساب الشغل: Work calculation: الشغل = القوة · الإزاحة Work = Force · Displacement
- الرسومات الحاسوبية: Computer graphics: حساب الإضاءة باستخدام الزاوية بين متجه الضوء والسطح Calculating lighting using the angle between the light vector and the surface
- الملاحة: Navigation: تحديد اتجاه الحركة بالنسبة لاتجاه الريح Determining direction of movement relative to wind direction
الضرب الاتجاهي في الحياة العملية Vector Product in Practical Life
- عزم الدوران: Torque: \[ τ = r × F\]
- المجالات المغناطيسية: Magnetic fields: \[ F = q(v × B)\]
- الهندسة: Geometry: حساب المساحات والحجوم Calculating areas and volumes
الفرق الجوهري بينهما Fundamental Difference Between Them
| الخاصية Property | الضرب القياسي Scalar Product | الضرب الاتجاهي Vector Product |
|---|---|---|
التطبيقات المتقدمة Advanced Applications
في الهندسة الميكانيكية In Mechanical Engineering
حساب عزم القصور الذاتي: Calculating moment of inertia:\[ I = Σm_i (r_i × v_i)\]
في الفيزياء الفلكية In Astrophysics
حساب الزخم الزاوي: Calculating angular momentum:\[L = r × p\]
الخاتمة Conclusion
تعتبر هذه العمليات من الركائز الأساسية في: These operations are among the fundamental pillars in:
- النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية Mathematical modeling of natural phenomena
- تطوير الخوارزميات في علوم الحاسب Developing algorithms in computer science
- تصميم الأنظمة الهندسية المعقدة Designing complex engineering systems
No comments:
Post a Comment