قواعد المتجهات Vector rules

 

 

📄 اطبع pdf
00971504825082

<<<قواعد المتجهات >>>

محصلة متجهين متعامدين

المفاهيم الأساسية

المتجهات المتعامدة هي متجهات تكون زاوية بينها 90 درجة .

المعادلات الأساسية

حجم المحصلة $$(R)=\sqrt {A² + B²}$$

الاتجاه $$(θ) = tan⁻¹ (\frac {B}{A})$$

المحاكاة التفاعلية

حاسبة المحصلة

المتجه الأفقية (A):
المتجه الرأسية (B):

التطبيقات العملية

$$7\star$$

تحرك أحمد نحو الغرب مسافة $$60\;m$$ ثم غير اتجاهه وتحرك مسافة قدرها $$80\;m$$ نحو الجنوب فإن محصلة الازاحتين تعادل

$$R=140 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=35.3^0 \;\;\;\;\;\; -C$$ جنوب الغرب	$$R=110 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=53^0 \;\;\;\;\;\; -A$$ غرب الجنوب
$$R=100 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=53^0 \;\;\;\;\;\; -D$$ جنوب الغرب	$$R=120 m \;\;\;\;, \;\;\;\;𝜃=36.9^0 \;\;\;\;\;\; -B$$ غرب الجنوب

اضغط هنا تظهر طريقة الحل

أختر الإجابة الصحيحة

---

A

---

B

---

C

---

D

---

2. الهندسة الإنشائية

في حساب القوى على الجسور حيث تكون القوى الأفقية والرأسية متعامدة:
القوة المحصلة = √(F_horizontal² + F_vertical²)

الاشتقاق الرياضي

لاشتقاق معادلة المحصلة:
1. نفرض متجهين $$A و B$$ متعامدين
2. نستخدم خاصية جمع المتجهات
3. نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم

$$R² = A² + B²$$

θ = arctan(المكون الرأسي / المكون الأفقي)

تمارين تطبيقية

1. إذا كان متجه أفقى قيمته 3 نيوتن ومتجه رأسي 4 نيوتن: $$R=\sqrt {3^2+4^2}\;N$$

التحليل الشامل للمتجهات في بعدين

مقدمة في المتجهات

المتجهات هي كميات فيزيائية لها مقدار واتجاه، مثل القوة والسرعة. تختلف عن الكميات القياسية التي ليس لها اتجاه. في هذا التحليل سنتعمق في:

• تمثيل المتجهات رياضياً
• تحليل المتجهات إلى مركبات
• التطبيقات العملية في الفيزياء والهندسة

التمثيل الرياضي للمتجهات

متجه في بعدين: $$A = A_xî + A_yĵ$$

حيث:
- المركبة الأفقية $$A_x$$ - المركبة الرأسية $$A_y$$
- متجهات الوحدة الأساسية $$î, ĵ$$

تحليل المتجه إلى مركبات

$$A_x = |A| cosθ$$
$$A_y = |A| sinθ$$ مثال: متجه بقوة 50 نيوتن بزاوية 30 درجة مع المحور الأفقي $$A_x= 50 * cos(30°) ≈ 43.3 N$$
$$A_y = 50 * sin(30°) = 25 N$$

جمع المتجهات

$$R = A + B = (A_x + B_x)î + (A_y + B_y)ĵ$$ مثال تطبيقي: $$A = 3î + 4ĵ$$
$$B = 2î - 5ĵ$$
$$R = (3+2)î + (4-5)ĵ = 5î - 1ĵ$$

التطبيقات العملية

1. الملاحة الجوية

عند حساب تأثير الرياح الجانبية:

$$V_{resultant} =\sqrt { V_{plane}^2 + V_{wind}^2}$$

2. الهندسة الإنشائية

حساب الإجهادات في الجسور: $$σ_x =\frac { F}{A} cosθ$$ $$σ_y =\frac { F}{A} sinθ$$

أداة محاكاة حساب المتجهات

المقدار: الزاوية (بالدرجات):

الاستنتاجات

تظهر الأهمية العملية لتحليل المتجهات في:

• تصميم الأنظمة الميكانيكية
• تحليل الحركة في الألعاب الإلكترونية
• أنظمة تحديد المواقع GPS

حساب محصلة متجهين باستخدام قانون جيب التمام

المفاهيم الأساسية

تعرف المحصلة المتجهية بأنها...

معادلة المحصلة المطلقة:
$$R² = A² + B² + 2AB cosθ$$

معادلة اتجاه المحصلة:
$$tanφ = \frac {B sinθ} {A + B cosθ}$$

الاشتقاق الرياضي

نبدأ بقانون جيب التمام للمثلثات...

لنفترض متجهين $$A وB$$ بينهما زاوية $$θ$$

$$R² = A² + B² - 2AB cos(180° - θ)$$
وبما أن $$cos(180° - θ) = -cosθ$$
$$∴ R² = A² + B² + 2AB cosθ$$

التطبيق العملي

مثال 1: قوى ميكانيكية

إذا أثرت قوة مقدارها 50 نيوتن بزاوية 60 درجة على قوة أخرى مقدارها 30 نيوتن:

$$R = \sqrt {(50² + 30² + 2*50*30*cos60°)}$$
$$R = \sqrt {(2500 + 900 + 1500)} = \sqrt {4900} = 70 \;N$$

تطبيق حاسوبي

تطبيقات عملية

• هندسة الإنشاءات: حساب القوى المؤثرة على الجسور
• الملاحة الجوية: تحديد اتجاه الطائرة
• الهندسة الكهربائية: جمع الجهود المتغيرة

الخاتمة

تعتبر هذه الطريقة أساسية في...

العمليات المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد

المفاهيم الأساسية

تعريف المتجهات

المتجه في الرياضيات هو كمية لها مقدار واتجاه. في الفضاء الثلاثي الأبعاد، يُعبر عن المتجه عادة باستخدام ثلاث مركبات

الرمز الرياضي:

$$A = (A_xî + A_yĵ + A_zk̂)$$

العمليات الأساسية

جمع المتجهات

المعادلة الرياضية:
$$A + B =(A_x+B_x)î + (A_y+B_y)ĵ + (A_z+B_z)k̂$$

دالة الجمع $$v1.x + v2.x,\\ v1.y + v2.y,\\ v1.z + v2.z$$

طرح المتجهات

المعادلة الرياضية:
$$A - B =(A_x-B_x)î + (A_y-B_y)ĵ + (A_z-B_z)k̂$$

دالة الطرح \[ v1.x - v2.x,\\ v1.y - v2.y,\\

التطبيقات العملية

في الهندسة الميكانيكية

• حساب القوى المحصلة في أنظمة الجسور
• تحليل الإجهادات في الهياكل المعقدة

في الرسوميات الحاسوبية

• تحريك النماذج ثلاثية الأبعاد
• حساب الإضاءة والظلال

خاتمة

تعتبر عمليات المتجهات أساسية في العديد من التطبيقات التكنولوجية الحديثة بدءًا من أنظمة الملاحة الجوية وحتى محركات الألعاب ثلاثية الأبعاد...

الضرب القياسي والاتجاهي للمتجهات ثلاثية الأبعاد

المقدمة

في الرياضيات والفيزياء، تُعتبر عمليات الضرب على المتجهات من الأدوات الأساسية لفهم العلاقات بين الكميات المتجهة. سنستعرض في هذا الشرح:

• الضرب القياسي (Dot Product)
• الضرب الاتجاهي (Cross Product)
• التطبيقات العملية لكل منهما

الضرب القياسي (Dot Product)

التعريف الهندسي

$$a · b = |a||b|cosθ$$

حيث θ هي الزاوية بين المتجهين

الصيغة الجبرية

إذا كان:
$$a = (a_x, a_y, a_z)$$ $$b= (b_x, b_y, b_z)$$ فإن:
$$a · b = a_x.b_x + a_y.b_y + a_z.b_z$$

مثال عملي

$$\vec A=(3î , -5ĵ , 2k̂)$$ $$\vec B=(7î , 1ĵ , -4k̂)$$ $$\vec A.\vec B=(3×7)+(-5×1)+(2×-4)=21-5-8=8$$

الخصائص

• نتيجة عملية الضرب كمية قياسية
• تتبع خاصية التوزيع: $$a·(b+c) = a·b + a·c$$
• إيجابية عندما تكون الزاوية حادة

الضرب الاتجاهي (Cross Product)

التعريف الهندسي

$$|a × b| = |a||b|sinθ$$

الاتجاه عمودي على المستوي المحدد بالمتجهين

الصيغة الجبرية

$$a × b =$$ $$\begin{bmatrix} i & j & k \\ a_X & a_Y & a_Z \\ b_X& b_Y & b_Z \end{bmatrix}$$

مثال عملي

الضرب الاتجاهي $$\vec A=(2î , 1ĵ , -3k̂)$$ $$\vec B=(4î , -1ĵ , 5k̂)$$ $$\vec A×\vec B=(1×5)-(-3×-1)î ,(-3×4)-(2×5)ĵ,(2×-1)-(1×4)k̂=(2î ,-22ĵ ,-6ĵ )$$

الخصائص

• النتيجة متجه جديد
• غير تبديلي: $$a × b = -(b × a)$$
• مقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع

التطبيقات العملية

الضرب القياسي في الحياة العملية

• حساب الشغل: الشغل = القوة · الإزاحة
• الرسومات الحاسوبية: حساب الإضاءة باستخدام الزاوية بين متجه الضوء والسطح
• الملاحة: تحديد اتجاه الحركة بالنسبة لاتجاه الريح

الضرب الاتجاهي في الحياة العملية

• عزم الدوران: $$τ = r × F$$
• المجالات المغناطيسية: F = q(v × B)\]
• الهندسة:\[ حساب المساحات والحجوم

الفرق الجوهري بينهما

الخاصية	الضرب القياسي	الضرب الاتجاهي
ناتج العملية	عدد قياسي	متجه
الاتجاه	لا يوجد	عمودي على المستوي
التبادلية	$$a·b = b·a$$	$$a×b = -b×a$$

التطبيقات المتقدمة

في الهندسة الميكانيكية

حساب عزم القصور الذاتي:
$$I = Σm_i (r_i × v_i)$$

في الذكاء الاصطناعي

في الفيزياء الفلكية

حساب الزخم الزاوي:
$$L = r × p$$

الخاتمة

تعتبر هذه العمليات من الركائز الأساسية في:

1. النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية
2. تطوير الخوارزميات في علوم الحاسب
3. تصميم الأنظمة الهندسية المعقدة

اكتب تعليقا واذا كان هناك خطأ اكتبه وحدد مكانه Write a comment, and if there is mistake, write and specify its location