Physics
📄 اطبع pdf
00971504825082
Motion in 2D & 3D | الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد
الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد
Motion in Two and Three Dimensions
عندما يتحرك الجسم في بعدين أو ثلاثة أبعاد يكون للجسم موقع:
\[\overrightarrow r =(X,Y,Z)=( X \widehat x , Y \widehat y ,Z \widehat z )\]
وبالتالي فإن للجسم سرعة على المحاور الثلاث:
\[\overrightarrow v =(v_x,v_y,v_z)=(v_x \widehat x , Y \widehat y ,v_z \widehat z )\]
\[\overrightarrow v =\frac{d\vec r}{dt}=
\frac{d X }{dt}\widehat x+\frac{d Y }{dt}\widehat y+\frac{d Z }{dt}\widehat z\]
المركبات الديكارتية للسرعة:
\[𝑣_x=\frac{d X }{dt}\;,\;\;𝑣_y=\frac{d Y }{dt}\;,\;\;𝑣_z=\frac{d Z }{dt}\]
وبالتالي فإن للجسم عجلة على المحاور الثلاث:
\[\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d 𝑣_x }{dt}\widehat x+\frac{d 𝑣_y }{dt}\widehat y+\frac{d 𝑣_z }{dt}\widehat z\]
المركبات الديكارتية للعجلة:
\[a_x=\frac{d 𝑣_x }{dt}\;,\;\;a_y=\frac{d 𝑣_y }{dt}\;,\;\;a_z=\frac{d 𝑣_z }{dt}\]
When an object moves in two or three dimensions, its position vector is:
\[\overrightarrow r =(X,Y,Z)=( X \widehat x , Y \widehat y ,Z \widehat z )\]
Therefore, the velocity vector has three components:
\[\overrightarrow v =(v_x,v_y,v_z)=(v_x \widehat x , v_y \widehat y ,v_z \widehat z )\]
\[\overrightarrow v =\frac{d\vec r}{dt}=
\frac{d X }{dt}\widehat x+\frac{d Y }{dt}\widehat y+\frac{d Z }{dt}\widehat z\]
Cartesian components of velocity:
\[𝑣_x=\frac{d X }{dt}\;,\;\;𝑣_y=\frac{d Y }{dt}\;,\;\;𝑣_z=\frac{d Z }{dt}\]
And the acceleration vector is:
\[\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d 𝑣_x }{dt}\widehat x+\frac{d 𝑣_y }{dt}\widehat y+\frac{d 𝑣_z }{dt}\widehat z\]
Cartesian components of acceleration:
\[a_x=\frac{d 𝑣_x }{dt}\;,\;\;a_y=\frac{d 𝑣_y }{dt}\;,\;\;a_z=\frac{d 𝑣_z }{dt}\]
السرعة المتجهه والعجلة في بعدين وثلاثة أبعاد
الحركة في بعدين أو ثلاثة أبعاد: تغيّر مقدار السرعة أو اتجاهها يؤدي إلى تكون عجلة:
\[\vec a=\frac {\Delta\vec v}{\Delta t}=\frac{𝑣_2-𝑣_1}{t_2 -t_1}\]
Velocity Vector and Acceleration in 2D & 3D
In two- or three-dimensional motion, a change in the magnitude or direction of velocity produces acceleration:
\[\vec a=\frac {\Delta\vec v}{\Delta t}=\frac{𝑣_2-𝑣_1}{t_2 -t_1}\]
مثال محلول
يجري غزال في حديقة في بعدين:
\[X(t)=0.5.t^2+12t+15\;\;\;\;\;\;Y(t)=-0.3.t^2+6t+20\]
حيث: \(X(m), Y(m), t(s)\)
احسب موقع الغزال عند \(t=8\;s\)
احسب سرعة الغزال عند \(t=8\;s\)
احسب التسارع عند \(t=8\;s\)
Find the gazelle’s position at \(t=8\;s\)
Find the gazelle’s velocity at \(t=8\;s\)
Find the acceleration at \(t=8\;s\)
تجربة المقذوف بزاوية
شغّل التجربة وحدد: ارتفاع المقذوف، سرعة ابتدائية، وزاوية القذف.
اجعل الحركة بطيئة لتأخذ قراءات دقيقة.
سجّل الإزاحة على المحورين كل 0.5 ثانية ثم أدخلها في الجدول.
Projectile Experiment (Launched at an Angle)
Run the simulation and set the initial height, the initial speed, and the launch angle.
Slow down the motion to record accurate readings.
Record the displacement every 0.5 s, then enter the values in the table.
الزمن (ث)Time (s)
المدى الأفقي (م)Horizontal range (m)
الارتفاع (م)Height (m)
السرعة الرأسية (م/ث)Vertical velocity (m/s)
إظهار التسارع الأفقي
Show horizontal acceleration
إظهار التسارع الرأسي
Show vertical acceleration
الخط البياني التالي يبين العلاقة بين السرعة والزمن للجسم المقذوف على المحور X
ما مقدار التسارع؟
الميل = a = 0
من خلال ما سبق نجد أن معادلات الحركة على المحور الأفقي:
\[
X = v_0 \cos(\theta)\, t
\]
The following graph shows the velocity–time relationship along the X-axis
What is the acceleration?
Slope = a = 0
From the graph, the equation of motion along the horizontal axis is:
\[
X = v_0 \cos(\theta)\, t
\]
الخط البياني التالي يبين العلاقة بين السرعة والزمن للجسم المقذوف على المحور Y
ما مقدار التسارع؟
الميل = a = −g
من خلال ما سبق نجد أن معادلات الحركة على المحور الرأسي:
\[
v_{fy} = v_0 \sin\theta - g t
\]
\[
v_{fy}^2 = (v_0 \sin\theta)^2 - 2 g \Delta y
\]
\[
\Delta y = v_0 \sin\theta\, t - \frac{1}{2} g t^2
\]
The following graph shows the velocity–time relationship along the Y-axis
What is the acceleration?
Slope = a = −g
From the graph, the equations of motion along the vertical axis are:
\[
v_{fy} = v_0 \sin\theta - g t
\]
\[
v_{fy}^2 = (v_0 \sin\theta)^2 - 2 g \Delta y
\]
\[
\Delta y = v_0 \sin\theta\, t - \frac{1}{2} g t^2
\]
ملاحظات هامة
- زمن التحليق يساوي ضعف زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع.
- تصل القذيفة إلى أكبر مدى أفقي عندما تكون زاوية الإطلاق \(45^\circ\).
- عند أقصى ارتفاع تكون السرعة الرأسية معدومة.
- يمكن لقذيفتين مختلفتين الوصول إلى نفس المدى إذا كان مجموع زاويتي الإطلاق \(90^\circ\).
مسار المقذوف قطع مكافئ
\[
X = v_0 \cos\theta \, t \Rightarrow t = \frac{X}{v_0 \cos\theta}
\]
\[
Y = Y_0 + v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2
\]
\[
Y = Y_0 + \tan\theta \, X - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} X^2
\]
وهي نفس معادلة القطع المكافئ:
\[
Y = C + bX + aX^2
\]
Important Notes
- The time of flight equals twice the time needed to reach maximum height.
- The projectile reaches maximum range when the launch angle is \(45^\circ\).
- At maximum height, the vertical velocity is zero.
- Two projectiles can reach the same range if their launch angles add up to \(90^\circ\).
The trajectory of a projectile is parabolic
\[
X = v_0 \cos\theta \, t \Rightarrow t = \frac{X}{v_0 \cos\theta}
\]
\[
Y = Y_0 + v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2
\]
\[
Y = Y_0 + \tan\theta \, X - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} X^2
\]
This is the standard equation of a parabola:
\[
Y = C + bX + aX^2
\]
مثال محلول
يركل لاعب كرة قدم كرة بسرعة:
\[
v_0 = 25\; m/s
\]
بزاوية:
\[
\theta = 33.1^\circ
\]
تميل فوق المستوى الأفقي، من مسافة تبعد عن المرمى:
\[
X = 40.6\; m
\]
هل وصلت الكرة للمرمى أم تجاوزت المرمى؟
الحل:
الكرة تنطلق من الأرض وتعود إلى الأرض ⇒
\[
Y = Y_0 = 0
\]
\[
Y=Y_0+\tan(\theta)\,X-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\theta)}\,X^2
\]
\[
0=0+\tan(33.1)\,X-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\,X^2
\]
\[
0.651\,X=0.011\,X^2 \Rightarrow X=59.1\;m
\]
إذن الكرة تجاوزت المرمى.
إذا كان ارتفاع العارضة 2 متر هل دخلت المرمى أم تجاوزت العارضة؟
نلاحظ أن:
\[
Y_0=0,\; v_0=25\,m/s,\; \theta=33.1^\circ,\; X=40.6\,m,\; Y=?
\]
\[
Y=0+\tan(33.1)\times 40.6-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\times (40.6)^2=8.03\;m
\]
الكرة مرت فوق العارضة.
Solved Example
A soccer player kicks a ball with speed:
\[
v_0 = 25\; m/s
\]
at an angle:
\[
\theta = 33.1^\circ
\]
above the horizontal, from a distance to the goal:
\[
X = 40.6\; m
\]
Does the ball reach the goal or pass beyond it?
Solution:
The ball is launched from the ground and lands back on the ground, so:
\[
Y = Y_0 = 0
\]
\[
Y=Y_0+\tan(\theta)\,X-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\theta)}\,X^2
\]
\[
0=\tan(33.1)\,X-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\,X^2
\]
\[
0.651\,X=0.011\,X^2 \Rightarrow X=59.1\;m
\]
So the ball goes beyond the goal.
If the crossbar height is 2 m, does the ball go under or over it?
\[
Y_0=0,\; v_0=25\,m/s,\; \theta=33.1^\circ,\; X=40.6\,m
\]
\[
Y=\tan(33.1)\times 40.6-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\times (40.6)^2=8.03\;m
\]
The ball passes over the crossbar.
حساب السرعة
كل نقطة من المسار لها سرعتان: سرعة على المحور X وسرعة على المحور Y،
ولكن عند أقصى ارتفاع تكون السرعة على المحور الأفقي فقط.
السرعة على المحور الأفقي هي مسقط السرعة البدائية على المحور الأفقي وهي ثابتة:
\[
v_x = v_0 \cos\theta
\]
والسرعة على المحور الرأسي تُحسب من معادلات الحركة:
\[
v_{fy}=v_0\sin\theta - g t
\]
\[
v_{fy}^2=(v_0\sin\theta)^2 - 2g\Delta Y
\]
وبالتالي السرعة الكلية:
\[
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
\]
Calculating the Velocity
At any point on the trajectory, the velocity has two components: along X and along Y.
At maximum height, the vertical component becomes zero, so the velocity is purely horizontal.
The horizontal velocity is the projection of the initial velocity and remains constant:
\[
v_x = v_0 \cos\theta
\]
The vertical velocity is found using kinematics:
\[
v_{fy}=v_0\sin\theta - g t
\]
\[
v_{fy}^2=(v_0\sin\theta)^2 - 2g\Delta Y
\]
Therefore, the total speed is:
\[
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
\]
أقصى ارتفاع ومدى المقذوفات
عند قذف جسم من الأرض ويعود إلى الأرض:
- زمن الوصول لأقصى ارتفاع يساوي نصف زمن التحليق.
- السرعة البدائية للقذف تساوي سرعة العودة للأرض (في الحالة المثالية).
عند أقصى ارتفاع:
\[
H=Y_0+\frac{v_{Y0}^2}{2g},\quad v_{fY}=0
\]
المدى الأفقي عندما \(Y=Y_0=0\):
\[
R=X=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)
\]
إذا كان \(Y_0\neq 0\):
\[
X=v_0\cos(\theta)\,t
\]
أقصى مدى أفقي عندما \(\theta=45^\circ\).
مثال محلول
مدفع يقف على تل يرتفع عن سطح الأرض:
\[
50\;m
\]
أطلق قذيفة بسرعة ابتدائية:
\[
v_0=83\;m/s
\]
بزاوية:
\[
\theta=40^\circ
\]
احسب أقصى ارتفاع من سطح الأرض
\[
H=Y_0+\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}
=50+\frac{(83\sin40)^2}{2\times 9.81}=195.1\;m
\]
احسب الزمن اللازم لوصول القذيفة إلى الهدف
\[
\Delta Y=v_0\sin\theta \, t-\frac{1}{2}gt^2
\]
\[
0-50=83\sin40\,t-\frac{1}{2}\times 9.81\,t^2
\]
\[
4.9t^2-53.35t-50=0 \Rightarrow t=11.76\;s
\]
احسب المدى الأفقي
\[
X=v_0\cos\theta\,t = 83\cos40 \times 11.76 = 747.7\;m
\]
احسب سرعة القذيفة لحظة ارتطامها بالأرض
\[
v_x=v_0\cos\theta=83\cos40=63.6\;m/s
\]
\[
v_{fy}=v_0\sin\theta - g t = 83\sin40 - 9.81\times 11.76 = -62\;m/s
\]
\[
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(63.6)^2+(-62)^2}=88.6\;m/s
\]
Maximum Height and Range of Projectiles
For a projectile launched from the ground and landing back on the ground:
- Time to reach maximum height equals half the time of flight.
- In ideal motion, the launch speed equals the landing speed.
At maximum height:
\[
H=Y_0+\frac{v_{Y0}^2}{2g},\quad v_{fY}=0
\]
Horizontal range when \(Y=Y_0=0\):
\[
R=X=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)
\]
If \(Y_0\neq 0\):
\[
X=v_0\cos(\theta)\,t
\]
Maximum range occurs at \(\theta=45^\circ\).
Solved Example
A cannon is placed on a hill of height:
\[
50\;m
\]
It fires a projectile with initial speed:
\[
v_0=83\;m/s
\]
at an angle:
\[
\theta=40^\circ
\]
Find the maximum height above the ground
\[
H=Y_0+\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}
=50+\frac{(83\sin40)^2}{2\times 9.81}=195.1\;m
\]
Find the time to hit the target
\[
\Delta Y=v_0\sin\theta \, t-\frac{1}{2}gt^2
\]
\[
-50=83\sin40\,t-\frac{1}{2}\times 9.81\,t^2
\]
\[
4.9t^2-53.35t-50=0 \Rightarrow t=11.76\;s
\]
Find the horizontal range
\[
X=v_0\cos\theta\,t = 83\cos40 \times 11.76 = 747.7\;m
\]
Find the impact speed
\[
v_x=v_0\cos\theta=83\cos40=63.6\;m/s
\]
\[
v_{fy}=v_0\sin\theta - g t = 83\sin40 - 9.81\times 11.76 = -62\;m/s
\]
\[
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(63.6)^2+(-62)^2}=88.6\;m/s
\]
المقذوف الأفقي
هو أحد تطبيقات الحركة في بعدين.
في المقذوف الأفقي تكون السرعة الابتدائية أفقية:
\[
v_x=v_0,\quad v_{0y}=0
\]
معادلات الحركة:
\[
X=v_0\,t
\]
\[
v_{fy}=-gt,\quad v_{fy}^2=-2g\Delta y,\quad \Delta y=-\frac{1}{2}gt^2
\]
مثال محلول
نصب مدفع على سطح مبنى ارتفاعه:
\[
50\;m
\]
وقُذفت قذيفة بسرعة أفقية مقدارها:
\[
90\;m/s
\]
احسب سرعة ارتطام القذيفة بالأرض
نحسب السرعة الكلية:
\[
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
\]
\[
v_x=v_0=90\;m/s
\]
\[
v_{fy}^2=-2g\Delta y=-2\times 9.81\times (-50)=981 \Rightarrow v_{fy}=31.3\;m/s
\]
\[
v=\sqrt{90^2+31.3^2}=95.2\;m/s
\]
Horizontal Projectile
This is one application of 2D motion.
For a horizontal projectile, the initial velocity is purely horizontal:
\[
v_x=v_0,\quad v_{0y}=0
\]
Equations of motion:
\[
X=v_0\,t
\]
\[
v_{fy}=-gt,\quad v_{fy}^2=-2g\Delta y,\quad \Delta y=-\frac{1}{2}gt^2
\]
Solved Example
A cannon is placed on top of a building of height:
\[
50\;m
\]
It fires a projectile horizontally with speed:
\[
90\;m/s
\]
Find the impact speed
Total speed:
\[
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}
\]
\[
v_x=v_0=90\;m/s
\]
\[
v_{fy}^2=-2g\Delta y=-2\times 9.81\times (-50)=981 \Rightarrow v_{fy}=31.3\;m/s
\]
\[
v=\sqrt{90^2+31.3^2}=95.2\;m/s
\]
حركة المقذوفات الواقعية
عند دراسة المقذوفات المثالية أهملنا مقاومة الهواء ودوران الجسم المقذوف.
في الواقع مقاومة الهواء تقلل من المدى الأفقي وأقصى ارتفاع، لأنها تعارض الحركة.
كما أن دوران المقذوف قد يسبب انحرافه عن مساره، فتتحول الحركة إلى ثلاثية الأبعاد.
Real Projectile Motion
In ideal projectile motion we neglect air resistance and rotation.
In reality, air resistance reduces the horizontal range and the maximum height because it opposes motion.
Rotation can also deflect the projectile from its path, making the motion effectively three-dimensional.
السرعة النسبية
السرعة النسبية هي سرعة جسم متحرك بالنسبة إلى جسم آخر.
إذا كان الجسمان يتحركان في نفس الاتجاه تبدو السرعة أقل،
وإذا كانا في اتجاهين متعاكسين تبدو السرعة أكبر.
وعند ذكر سرعة جسم يجب تحديد: بالنسبة إلى من؟
مثال: أحمد يقود سيارة نحو الشرق بسرعة:
\[
20\;m/s
\]
سرعة أحمد بالنسبة إلى السيارة:
\[
\vec v_{AC}=0
\]
سرعة أحمد بالنسبة إلى الطريق:
\[
\vec v_{Ae}=20\;m/s \; \text{شرقاً}
\]
سرعة الأرض بالنسبة إلى أحمد:
\[
\vec v_{eA}=20\;m/s \; \text{غرباً}
\]
مثال محلول
توجه قارب نحو الشمال بسرعة:
\[
20\;m/s
\]
عبر نهر يتدفق نحو الشرق بسرعة:
\[
5\;m/s
\]
احسب سرعة القارب بالنسبة لمراقب يقف على الضفة
نجمع متجهات السرعة:
\[
\vec v_{Be}=\vec v_{BR}+\vec v_{Re}
\]
\[
v_{Be}=\sqrt{20^2+5^2}=20.6\;m/s
\]
الاتجاه:
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{20}{5}\right)=76^\circ
\]
Relative Velocity
Relative velocity is the velocity of a moving object measured with respect to another object.
If both objects move in the same direction, the observed speed appears smaller.
If they move in opposite directions, the observed speed appears larger.
So we must always specify: velocity relative to what?
Example: Ahmad drives a car eastward at:
\[
20\;m/s
\]
Ahmad’s velocity relative to the car:
\[
\vec v_{AC}=0
\]
Ahmad’s velocity relative to the road:
\[
\vec v_{Ae}=20\;m/s \; \text{east}
\]
Earth’s velocity relative to Ahmad:
\[
\vec v_{eA}=20\;m/s \; \text{west}
\]
Solved Example
A boat heads north at:
\[
20\;m/s
\]
Across a river that flows east at:
\[
5\;m/s
\]
Find the boat’s velocity relative to an observer on the bank
Add the velocity vectors:
\[
\vec v_{Be}=\vec v_{BR}+\vec v_{Re}
\]
\[
v_{Be}=\sqrt{20^2+5^2}=20.6\;m/s
\]
Direction:
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{20}{5}\right)=76^\circ
\]
الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد Motion in Two and Three Dimensions |
احسب موقع الغزال عند \(t=8\;s\)
احسب سرعة الغزال عند \(t=8\;s\)
احسب التسارع عند \(t=8\;s\)
Find the gazelle’s position at \(t=8\;s\)
Find the gazelle’s velocity at \(t=8\;s\)
Find the acceleration at \(t=8\;s\)
تجربة المقذوف بزاوية
شغّل التجربة وحدد: ارتفاع المقذوف، سرعة ابتدائية، وزاوية القذف. اجعل الحركة بطيئة لتأخذ قراءات دقيقة. سجّل الإزاحة على المحورين كل 0.5 ثانية ثم أدخلها في الجدول.
Projectile Experiment (Launched at an Angle)
Run the simulation and set the initial height, the initial speed, and the launch angle. Slow down the motion to record accurate readings. Record the displacement every 0.5 s, then enter the values in the table.
| الزمن (ث)Time (s) | المدى الأفقي (م)Horizontal range (m) | الارتفاع (م)Height (m) | السرعة الرأسية (م/ث)Vertical velocity (m/s) |
|---|
ما مقدار التسارع؟
الميل = a = 0
من خلال ما سبق نجد أن معادلات الحركة على المحور الأفقي:
\[ X = v_0 \cos(\theta)\, t \]
What is the acceleration?
Slope = a = 0
From the graph, the equation of motion along the horizontal axis is:
\[ X = v_0 \cos(\theta)\, t \]
ما مقدار التسارع؟
الميل = a = −g
من خلال ما سبق نجد أن معادلات الحركة على المحور الرأسي:
\[ v_{fy} = v_0 \sin\theta - g t \] \[ v_{fy}^2 = (v_0 \sin\theta)^2 - 2 g \Delta y \] \[ \Delta y = v_0 \sin\theta\, t - \frac{1}{2} g t^2 \]
What is the acceleration?
Slope = a = −g
From the graph, the equations of motion along the vertical axis are:
\[ v_{fy} = v_0 \sin\theta - g t \] \[ v_{fy}^2 = (v_0 \sin\theta)^2 - 2 g \Delta y \] \[ \Delta y = v_0 \sin\theta\, t - \frac{1}{2} g t^2 \]- زمن التحليق يساوي ضعف زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع.
- تصل القذيفة إلى أكبر مدى أفقي عندما تكون زاوية الإطلاق \(45^\circ\).
- عند أقصى ارتفاع تكون السرعة الرأسية معدومة.
- يمكن لقذيفتين مختلفتين الوصول إلى نفس المدى إذا كان مجموع زاويتي الإطلاق \(90^\circ\).
مسار المقذوف قطع مكافئ
\[ X = v_0 \cos\theta \, t \Rightarrow t = \frac{X}{v_0 \cos\theta} \] \[ Y = Y_0 + v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2 \] \[ Y = Y_0 + \tan\theta \, X - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} X^2 \]وهي نفس معادلة القطع المكافئ:
\[ Y = C + bX + aX^2 \]- The time of flight equals twice the time needed to reach maximum height.
- The projectile reaches maximum range when the launch angle is \(45^\circ\).
- At maximum height, the vertical velocity is zero.
- Two projectiles can reach the same range if their launch angles add up to \(90^\circ\).
The trajectory of a projectile is parabolic
\[ X = v_0 \cos\theta \, t \Rightarrow t = \frac{X}{v_0 \cos\theta} \] \[ Y = Y_0 + v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2 \] \[ Y = Y_0 + \tan\theta \, X - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} X^2 \]This is the standard equation of a parabola:
\[ Y = C + bX + aX^2 \]يركل لاعب كرة قدم كرة بسرعة:
\[ v_0 = 25\; m/s \]بزاوية:
\[ \theta = 33.1^\circ \]تميل فوق المستوى الأفقي، من مسافة تبعد عن المرمى:
\[ X = 40.6\; m \]هل وصلت الكرة للمرمى أم تجاوزت المرمى؟
الحل:
الكرة تنطلق من الأرض وتعود إلى الأرض ⇒
\[ Y = Y_0 = 0 \] \[ Y=Y_0+\tan(\theta)\,X-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\theta)}\,X^2 \] \[ 0=0+\tan(33.1)\,X-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\,X^2 \] \[ 0.651\,X=0.011\,X^2 \Rightarrow X=59.1\;m \]إذن الكرة تجاوزت المرمى.
إذا كان ارتفاع العارضة 2 متر هل دخلت المرمى أم تجاوزت العارضة؟
نلاحظ أن:
\[ Y_0=0,\; v_0=25\,m/s,\; \theta=33.1^\circ,\; X=40.6\,m,\; Y=? \] \[ Y=0+\tan(33.1)\times 40.6-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\times (40.6)^2=8.03\;m \]الكرة مرت فوق العارضة.
A soccer player kicks a ball with speed:
\[ v_0 = 25\; m/s \]at an angle:
\[ \theta = 33.1^\circ \]above the horizontal, from a distance to the goal:
\[ X = 40.6\; m \]Does the ball reach the goal or pass beyond it?
Solution:
The ball is launched from the ground and lands back on the ground, so:
\[ Y = Y_0 = 0 \] \[ Y=Y_0+\tan(\theta)\,X-\frac{g}{2v_0^2\cos^2(\theta)}\,X^2 \] \[ 0=\tan(33.1)\,X-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\,X^2 \] \[ 0.651\,X=0.011\,X^2 \Rightarrow X=59.1\;m \]So the ball goes beyond the goal.
If the crossbar height is 2 m, does the ball go under or over it?
\[ Y_0=0,\; v_0=25\,m/s,\; \theta=33.1^\circ,\; X=40.6\,m \] \[ Y=\tan(33.1)\times 40.6-\frac{9.81}{2\times 25^2 \cos^2(33.1)}\times (40.6)^2=8.03\;m \]The ball passes over the crossbar.
كل نقطة من المسار لها سرعتان: سرعة على المحور X وسرعة على المحور Y، ولكن عند أقصى ارتفاع تكون السرعة على المحور الأفقي فقط.
السرعة على المحور الأفقي هي مسقط السرعة البدائية على المحور الأفقي وهي ثابتة:
\[ v_x = v_0 \cos\theta \]والسرعة على المحور الرأسي تُحسب من معادلات الحركة:
\[ v_{fy}=v_0\sin\theta - g t \] \[ v_{fy}^2=(v_0\sin\theta)^2 - 2g\Delta Y \]وبالتالي السرعة الكلية:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]At any point on the trajectory, the velocity has two components: along X and along Y. At maximum height, the vertical component becomes zero, so the velocity is purely horizontal.
The horizontal velocity is the projection of the initial velocity and remains constant:
\[ v_x = v_0 \cos\theta \]The vertical velocity is found using kinematics:
\[ v_{fy}=v_0\sin\theta - g t \] \[ v_{fy}^2=(v_0\sin\theta)^2 - 2g\Delta Y \]Therefore, the total speed is:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]عند قذف جسم من الأرض ويعود إلى الأرض:
- زمن الوصول لأقصى ارتفاع يساوي نصف زمن التحليق.
- السرعة البدائية للقذف تساوي سرعة العودة للأرض (في الحالة المثالية).
عند أقصى ارتفاع:
\[ H=Y_0+\frac{v_{Y0}^2}{2g},\quad v_{fY}=0 \]المدى الأفقي عندما \(Y=Y_0=0\):
\[ R=X=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) \]إذا كان \(Y_0\neq 0\):
\[ X=v_0\cos(\theta)\,t \]أقصى مدى أفقي عندما \(\theta=45^\circ\).
مثال محلول
مدفع يقف على تل يرتفع عن سطح الأرض:
\[ 50\;m \]أطلق قذيفة بسرعة ابتدائية:
\[ v_0=83\;m/s \]بزاوية:
\[ \theta=40^\circ \]احسب أقصى ارتفاع من سطح الأرض
\[ H=Y_0+\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} =50+\frac{(83\sin40)^2}{2\times 9.81}=195.1\;m \]احسب الزمن اللازم لوصول القذيفة إلى الهدف
\[ \Delta Y=v_0\sin\theta \, t-\frac{1}{2}gt^2 \] \[ 0-50=83\sin40\,t-\frac{1}{2}\times 9.81\,t^2 \] \[ 4.9t^2-53.35t-50=0 \Rightarrow t=11.76\;s \]احسب المدى الأفقي
\[ X=v_0\cos\theta\,t = 83\cos40 \times 11.76 = 747.7\;m \]احسب سرعة القذيفة لحظة ارتطامها بالأرض
\[ v_x=v_0\cos\theta=83\cos40=63.6\;m/s \] \[ v_{fy}=v_0\sin\theta - g t = 83\sin40 - 9.81\times 11.76 = -62\;m/s \] \[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(63.6)^2+(-62)^2}=88.6\;m/s \]For a projectile launched from the ground and landing back on the ground:
- Time to reach maximum height equals half the time of flight.
- In ideal motion, the launch speed equals the landing speed.
At maximum height:
\[ H=Y_0+\frac{v_{Y0}^2}{2g},\quad v_{fY}=0 \]Horizontal range when \(Y=Y_0=0\):
\[ R=X=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) \]If \(Y_0\neq 0\):
\[ X=v_0\cos(\theta)\,t \]Maximum range occurs at \(\theta=45^\circ\).
Solved Example
A cannon is placed on a hill of height:
\[ 50\;m \]It fires a projectile with initial speed:
\[ v_0=83\;m/s \]at an angle:
\[ \theta=40^\circ \]Find the maximum height above the ground
\[ H=Y_0+\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} =50+\frac{(83\sin40)^2}{2\times 9.81}=195.1\;m \]Find the time to hit the target
\[ \Delta Y=v_0\sin\theta \, t-\frac{1}{2}gt^2 \] \[ -50=83\sin40\,t-\frac{1}{2}\times 9.81\,t^2 \] \[ 4.9t^2-53.35t-50=0 \Rightarrow t=11.76\;s \]Find the horizontal range
\[ X=v_0\cos\theta\,t = 83\cos40 \times 11.76 = 747.7\;m \]Find the impact speed
\[ v_x=v_0\cos\theta=83\cos40=63.6\;m/s \] \[ v_{fy}=v_0\sin\theta - g t = 83\sin40 - 9.81\times 11.76 = -62\;m/s \] \[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(63.6)^2+(-62)^2}=88.6\;m/s \]هو أحد تطبيقات الحركة في بعدين.
في المقذوف الأفقي تكون السرعة الابتدائية أفقية:
\[ v_x=v_0,\quad v_{0y}=0 \]
معادلات الحركة:
\[ X=v_0\,t \] \[ v_{fy}=-gt,\quad v_{fy}^2=-2g\Delta y,\quad \Delta y=-\frac{1}{2}gt^2 \] مثال محلولنصب مدفع على سطح مبنى ارتفاعه:
\[ 50\;m \]وقُذفت قذيفة بسرعة أفقية مقدارها:
\[ 90\;m/s \]احسب سرعة ارتطام القذيفة بالأرض
نحسب السرعة الكلية:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \] \[ v_x=v_0=90\;m/s \] \[ v_{fy}^2=-2g\Delta y=-2\times 9.81\times (-50)=981 \Rightarrow v_{fy}=31.3\;m/s \] \[ v=\sqrt{90^2+31.3^2}=95.2\;m/s \]This is one application of 2D motion.
For a horizontal projectile, the initial velocity is purely horizontal:
\[ v_x=v_0,\quad v_{0y}=0 \]
Equations of motion:
\[ X=v_0\,t \] \[ v_{fy}=-gt,\quad v_{fy}^2=-2g\Delta y,\quad \Delta y=-\frac{1}{2}gt^2 \] Solved ExampleA cannon is placed on top of a building of height:
\[ 50\;m \]It fires a projectile horizontally with speed:
\[ 90\;m/s \]Find the impact speed
Total speed:
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \] \[ v_x=v_0=90\;m/s \] \[ v_{fy}^2=-2g\Delta y=-2\times 9.81\times (-50)=981 \Rightarrow v_{fy}=31.3\;m/s \] \[ v=\sqrt{90^2+31.3^2}=95.2\;m/s \]عند دراسة المقذوفات المثالية أهملنا مقاومة الهواء ودوران الجسم المقذوف. في الواقع مقاومة الهواء تقلل من المدى الأفقي وأقصى ارتفاع، لأنها تعارض الحركة. كما أن دوران المقذوف قد يسبب انحرافه عن مساره، فتتحول الحركة إلى ثلاثية الأبعاد.
In ideal projectile motion we neglect air resistance and rotation. In reality, air resistance reduces the horizontal range and the maximum height because it opposes motion. Rotation can also deflect the projectile from its path, making the motion effectively three-dimensional.
السرعة النسبية هي سرعة جسم متحرك بالنسبة إلى جسم آخر.
إذا كان الجسمان يتحركان في نفس الاتجاه تبدو السرعة أقل، وإذا كانا في اتجاهين متعاكسين تبدو السرعة أكبر. وعند ذكر سرعة جسم يجب تحديد: بالنسبة إلى من؟
مثال: أحمد يقود سيارة نحو الشرق بسرعة:
\[ 20\;m/s \]سرعة أحمد بالنسبة إلى السيارة:
\[ \vec v_{AC}=0 \]سرعة أحمد بالنسبة إلى الطريق:
\[ \vec v_{Ae}=20\;m/s \; \text{شرقاً} \]سرعة الأرض بالنسبة إلى أحمد:
\[ \vec v_{eA}=20\;m/s \; \text{غرباً} \]مثال محلول
توجه قارب نحو الشمال بسرعة:
\[ 20\;m/s \]عبر نهر يتدفق نحو الشرق بسرعة:
\[ 5\;m/s \]احسب سرعة القارب بالنسبة لمراقب يقف على الضفة
نجمع متجهات السرعة:
\[ \vec v_{Be}=\vec v_{BR}+\vec v_{Re} \] \[ v_{Be}=\sqrt{20^2+5^2}=20.6\;m/s \]الاتجاه:
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{20}{5}\right)=76^\circ \]Relative velocity is the velocity of a moving object measured with respect to another object.
If both objects move in the same direction, the observed speed appears smaller. If they move in opposite directions, the observed speed appears larger. So we must always specify: velocity relative to what?
Example: Ahmad drives a car eastward at:
\[ 20\;m/s \]Ahmad’s velocity relative to the car:
\[ \vec v_{AC}=0 \]Ahmad’s velocity relative to the road:
\[ \vec v_{Ae}=20\;m/s \; \text{east} \]Earth’s velocity relative to Ahmad:
\[ \vec v_{eA}=20\;m/s \; \text{west} \]Solved Example
A boat heads north at:
\[ 20\;m/s \]Across a river that flows east at:
\[ 5\;m/s \]Find the boat’s velocity relative to an observer on the bank
Add the velocity vectors:
\[ \vec v_{Be}=\vec v_{BR}+\vec v_{Re} \] \[ v_{Be}=\sqrt{20^2+5^2}=20.6\;m/s \]Direction:
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{20}{5}\right)=76^\circ \]
No comments:
Post a Comment