Physics
📄 اطبع pdf
00971504825082
ميكانيكا الجسيمات النقطية
Particle Mechanics
الترميز العلمي
Scientific Notation
لماذا نستخدم الترميز العلمي
Why do we use scientific notation?
تم تطوير الترميز العلمي من أجل تمثيل الأرقام التي تكون إما كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا بسهولة
Scientific notation was developed to easily represent numbers that are either very large or very small
(5972000000000000000000000 kg) كتلة الأرض تعادل تقريبا
Earth's mass is approximately (5972000000000000000000000 kg)
(5.972 × 1000000000000000000000000) من الممكن كتابة كتلة الأرض على النحو التالي
Earth's mass can be written as (5.972 × 1000000000000000000000000)
العدد 1000000000000000000000000 هو الذي يسبب مشكلة فهو من مضاعفات العشرة
The number 1000000000000000000000000 is the problem - it's a multiple of ten
\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\]
\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\]
تكتب بالترميز العلمي
Written in scientific notation
\[10 = 10^1 \;,\; 10 \times 10 = 10^2 \;,\; 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 ...\]
فيكون العدد المسبب للمشكلة بالترميز العلمي
So the problematic number in scientific notation is
\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{24}\]
\[5.972 \times 10^{24}\]
(0.00000000000000000016 C) من ناحية أخرى شحنة الإلكترون تعادل
On the other hand, the electron charge is (0.00000000000000000016 C)
(1.6 ÷ 10000000000000000000) من الممكن كتابة شحنة الإلكترون على النحو التالي
The electron charge can be written as (1.6 ÷ 10000000000000000000)
\[\frac{1}{10} = 10^{-1} \;,\; \frac{1}{100} = 10^{-2} \;,\; \frac{1}{100000} = 10^{-5} \;...\]
فيكون العدد المسبب للمشكلة بالترميز العلمي
So the problematic number in scientific notation is
\[\frac{1}{10000000000000000000} = 10^{-19}\]
فتكتب شحنة الإلكترون بالترميز العلمي
Thus the electron charge is written in scientific notation as
\[q = 1.6 \times 10^{-19} C\]
قيم نفسك
Test Yourself
رقم المحاولةAttempt No.
قيمة المقدار الفيزيائيPhysical Quantity Value
كتابة المقدار بالترميز العلميScientific Notation
1
الضغط داخل عمق البحرPressure at sea depth \[98700000 pa\]
\[p = \dots\]
2
شحنة كرة من الحديدCharge of an iron ball \[0.0000007 C\]
\[q = \dots\]
3
سرعة الضوء في الفراغSpeed of light in vacuum \[300000000 \frac{m}{s}\]
\[c = \dots\]
4
نصف قطر الذرة يعادل تقريباAtomic radius is approximately \[0.0000000025 m\]
\[r = \dots\]
الأرقام المعنوية
Significant Figures
هي الأرقام القابلة للقياس بوساطة أجهزة القياس وتحتوي على أرقام حقيقية وأرقام تقديرية
They are numbers that can be measured by measuring instruments and contain real and estimated digits
مثال طول القلم يتم قياسه بوساطة المسطرة (بوساطة جهاز) فهو رقم معنوي
Example: The length of a pen measured with a ruler is a significant figure
أما عدد طلاب الصف العاشر فهو رقم غير معنوي لم يتم قياسه بجهاز
While the number of 10th-grade students is a non-significant figure (not measured by a device)
(13.85 Cm) طول القلم
Pen length (13.85 cm)
(13.8 Cm) هو رقم حقيقي جميع الطلاب تكون لهم نفس القراءة
(13.8 cm) is the real number that all students would read the same
(5) فهو رقم تم تقديره ويختلف من طالب إلى آخر
(5) is the estimated number that varies from student to student
مثال محلول: هذا الجهاز يدعى الجلفانوميتر يستخدم لقياس شدة التيار وفرق الجهد. الآن يستخدم لقياس شدة التيار. كم قياس شدة التيار؟
Solved example: This device is called a galvanometer, used to measure current and voltage. It is now used to measure current. What is the current reading?
(2.3) القراءة
Reading (2.3)
لاحظ عدد الأرقام المعنوية رقمين
Note that the number of significant figures is two
قواعد الأرقام المعنوية
Rules of Significant Figures
القاعدة الأولى: جميع الأرقام غير الصفرية هي أرقام معنوية
Rule 1: All non-zero digits are significant
مثال: 3.46 يتكون من ثلاث أرقام معنوية
Example: 3.46 has three significant figures
القاعدة الثانية: الأصفار على يسار العدد ليست أرقام معنوية
Rule 2: Zeros to the left of the number are not significant
مثال: 0.00034 يتكون من رقمين معنويين (3,4)
Example: 0.00034 has two significant figures (3,4)
القاعدة الثالثة: الأصفار على يمين العدد ليست أرقام معنوية
Rule 3: Zeros to the right of the number are not significant
مثال: 5800 يتكون من رقمين معنويين (5,8)
Example: 5800 has two significant figures (5,8)
القاعدة الرابعة: الأصفار بين الأعداد تعتبر أرقام معنوية
Rule 4: Zeros between numbers are significant
مثال: 5003 يتكون من أربع أرقام معنوية (5,0,0,3)
Example: 5003 has four significant figures (5,0,0,3)
القاعدة الخامسة: الأصفار بعد الفاصلة تعتبر أرقام معنوية
Rule 5: Zeros after the decimal point are significant
مثال: 6.00 يتكون من ثلاث أرقام معنوية (6,0,0)
Example: 6.00 has three significant figures (6,0,0)
قيم نفسك
Test Yourself
رقم المحاولةAttempt No.
الرقم المقاس بالجهازMeasured Number
عدد الأرقام المعنويةNumber of Significant Figures
1
0.00520
\[..............\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحلClick here to show solution
2
2010
\[..............\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحلClick here to show solution
3
2,000
\[..............\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحلClick here to show solution
4
98790
\[..............\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحلClick here to show solution
\[1 \star\]
باستخدام قواعد الأرقام المعنوية والترميز العلمي فإن ناتج الضرب التالي للأرقام المعنوية هو
\[ 50.4 \times 310 = \dots\]
Using the rules of significant figures and scientific notation, the product of the following significant figures is
\[ 50.4 \times 310 = \dots\]
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[15.6 \times 10^{3}\]
B
\[1.5 \times 10^{4}\]
C
\[15.62 \times 10^{3}\]
D
\[1.6 \times 10^{4}\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
\[2 \star\]
باستخدام قواعد الأرقام المعنوية والترميز العلمي أوجد ناتج
\[ 5.63 + 15.1 + 14 = \dots\]
Using the rules of significant figures and scientific notation, find the result of
\[ 5.63 + 15.1 + 14 = \dots\]
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[34.73\]
B
\[35\]
C
\[34.7\]
D
\[34\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
البادئات
Prefixes
وهي عبارة عن مضاعفات وأجزاء وحدات القياس
They are multiples and submultiples of units of measurement
الجدول التالي يبين البادئات
The following table shows the prefixes
إلعب وتعلم
حدد قيم البادئات
Play and Learn
Identify the prefix values
معامل التحويل
Conversion Factor
نلاحظ أن مثلا \(k = 10^3\)
Note that for example \(k = 10^3\)
لذلك \[\frac{10^3}{k} = \frac{k}{10^3} = 1\]
Therefore \[\frac{10^3}{k} = \frac{k}{10^3} = 1\]
هذا ما يسمى بمعامل التحويل
This is called the conversion factor
مثال محلول: المسافة من دبي إلى الرياض 6.3 ميجا متر فكم المسافة بوحدة المتر
Solved example: The distance from Dubai to Riyadh is 6.3 megameters. What is the distance in meters?
\[6.3 Mm \times \frac{10^6 m}{Mm} = 6.3 \times 10^6 m\]
مثال محلول: حول 16.4 ميلي جرام إلى وحدة الكيلو جرام
Solved example: Convert 16.4 milligrams to kilograms
\[16.4 mg \times \frac{10^{-3} g}{mg} \times \frac{kg}{10^3 g} = 16.4 \times 10^{-3} \times 10^{-3} = 16.4 \times 10^{-6} kg\]
\[3 \star\]
أي مما يلي يساوي
\[5\;km\]
Which of the following equals
\[5\;km\]
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[5 \times 10^{4} \;cm\]
B
\[5 \times 10^{5} \;cm\]
C
\[5 \times 10^{6} \;cm\]
D
\[5 \times 10^{3} \;cm\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
\[4 \star\]
أي مما يلي يساوي
\[5\; \mu s\]
Which of the following equals
\[5\; \mu s\]
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[5 \times 10^{-4} \;s\]
B
\[5 \times 10^{-5} \;s\]
C
\[5 \times 10^{-3} \;s\]
D
\[5 \times 10^{-6} \;s\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
المقاييس في عالمنا
Measurements in Our World
مقاييس الطول
Length Measurements
الطول: هي عبارة عن المسافة بين نقطتين في الفضاء
Length: is the distance between two points in space
نستخدم البادئات لقياس الأطوال بالمضاعفات والأجزاء
وهناك وحدات قياس شائعة يتم استخدامها مثل البوصة والقدم والميل
We use prefixes to measure lengths in multiples and submultiples
There are common units used such as inch, foot, and mile
\[1 \text{ in} = 2.54 \text{ cm} ,\quad 1 \text{ cm} = 0.393 \text{ in}\]
\[1 \text{ foot} = 0.3048 \text{ m} ,\quad 1 \text{ m} = 3.28 \text{ foot}\]
\[1 \text{ mile} = 1609 \text{ m} ,\quad 1 \text{ m} = 6.215 \times 10^{-4} \text{ mile}\]
ونستخدم الوحدة الفلكية لقياس المسافات الطويلة
We use the astronomical unit to measure long distances
\[1 \text{ AU} = 1.49598 \times 10^{11} \text{ m}\]
ونستخدم الوحدة السنة الضوئية لقياس المسافات خارج نظامنا الشمسي
We use the light-year unit to measure distances outside our solar system
\[1 \text{ Light-Year} = 1 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \times 3 \times 10^8 = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}\]
مقاييس الكتلة
Mass Measurements
الكتلة: وهي عبارة عن مقدار المادة الموجودة في الجسم
Mass: is the amount of matter in an object
يستخدم لقياس الكتلة وحدة أساسية وهي الكيلو جرام وتستخدم لقياس الكتل الصغيرة جدا مثل كتلة الإلكترون
The basic unit used to measure mass is the kilogram, and it is used to measure very small masses such as the electron mass
\[m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\]
ونستخدم وحدة الكيلو جرام لقياس الكتل الضخمة مثلا كتلة الأرض
We also use the kilogram to measure huge masses, for example the Earth's mass
\[m_{\text{earth}} = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\]
مقاييس الزمن
Time Measurements
الزمن: وهو المدة الفاصلة بين حدثين
Time: is the interval between two events
نستخدم وحدة قياس الثانية كوحدة دولية
We use the second as the international unit
وإذا كانت الفترات الزمنية طويلة نستخدم الدقيقة والساعة واليوم والسنة والقرن
If time periods are long, we use minutes, hours, days, years, and centuries
\[1 \text{ min} = 60 \text{ s}\]
\[1 \text{ hour} = 60 \times 60 = 3600 \text{ s}\]
\[1 \text{ Day} = 24 \times 60 \times 60 = 86.4 \times 10^3 \text{ s}\]
\[1 \text{ year} = 1 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 = 31.557 \times 10^6 \text{ s}\]
\[1 \text{ century} = 1 \times 100 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 = 31.557 \times 10^8 \text{ s}\]
\[5 \star\]
طول أحمد \((
\[4 \text{ foot}, 20 \text{ in}\] كم طول أحمد بوحدة المتر
Ahmed's height is \[4 \text{ feet}, 20 \text{ inches}\]. What is Ahmed's height in meters?
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[h = 1.54 \text{ m}\]
B
\[h = 1.62 \text{ m}\]
C
\[h = 1.72 \text{ m}\]
D
\[h = 1.81 \text{ m}\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
\[6 \star\]
سرعة سيارة
\[65 \text{ mil/h}\] فإن سرعة السيارة بوحدة \[m/s\]تعادل
A car's speed is \[65 \text{ miles/h}\]. The car's speed in \[m/s\] equals
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[v = 105 \text{ m/s}\]
B
\[v = 15 \text{ m/s}\]
C
\[v = 82 \text{ m/s}\]
D
\[v = 29 \text{ m/s}\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
\[7 \star\]
يتم تخزين وقود الطائرات في أسطوانة ارتفاعها
\[82.6 \text{ in}\] ومحيطها \(
\[249 \text{ in}\] فإن حجم الوقود بالوحدة المترية تعادل
Aircraft fuel is stored in a cylinder with height \[82.6 \text{ in}\] and circumference \[249 \text{ in}\]. The fuel volume in metric units is
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[v = 7.25 \text{ m}^3\]
B
\[v = 5.42 \text{ m}^3\]
C
\[v = 4.65 \text{ m}^3\]
D
\[v = 6.67 \text{ m}^3\]
المتجهات في بعدين
Vectors in Two Dimensions
المتجهات
Vectors
تقسم الكميات الفيزيائية إلى نوعينPhysical quantities are divided into two types
النوع الأول: كميات قياسيةType 1: Scalar quantities
تتحدد بمعرفة مقدارها فقطDetermined only by their magnitude
مثال: المسافة - الكتلة - الحجم - الزمنExample: distance - mass - volume - time
النوع الثاني: كميات متجهةType 2: Vector quantities
تتحدد بمعرفة مقدارها واتجاههاDetermined by both magnitude and direction
مثال: الإزاحة - السرعة - التسارع - القوةExample: displacement - velocity - acceleration - force
الإحداثيات الديكارتية
Cartesian Coordinates
لتحديد موضع نقطة على مستوى ثنائي الأبعاد، نستخدم رقمين تسمى الإحداثيات الديكارتية
To locate a point in a two-dimensional plane, we use two numbers called Cartesian coordinates
الرقم الأول مدى المسافة على طول المحور الأفقي
The first number is the distance along the horizontal axis
الرقم الثاني مدى المسافة على طول المحور الرأسي
\[12.5, 5\]
The second number is the distance along the vertical axis \[12.5, 5\]
لتحديد موضع نقطة على مستوى ثلاثي الأبعاد، نستخدم ثلاث أرقام تسمى الإحداثيات الديكارتية \[P_X, P_Y, P_Z\]
To locate a point in three-dimensional space, we use three numbers called Cartesian coordinates \[P_X, P_Y, P_Z\]
الرقم الأول مدى المسافة على طول المحور الأفقي \[X\]
The first number is the distance along the horizontal axis \[X\]
الرقم الثاني مدى المسافة على طول المحور الرأسي \[Y\]
The second number is the distance along the vertical axis \[Y\]
الرقم الثالث مدى المسافة على المحور العمودي على المحورين الأول والثاني \[Z\]
The third number is the distance along the axis perpendicular to the first two axes \[Z\]
التحليل لإيجاد الإحداثيات
Resolution to Find Components
هي عملية إسقاط المتجه على المحور الأفقي وعلى المحور الرأسي وتحويل المتجه الواحد إلى مركبتين تعادلان هذا المتجه
It is the process of projecting a vector onto the horizontal axis and vertical axis, converting a single vector into two components that are equivalent to this vector
\[A_X = A \cdot \cos \theta\]
\[A_Y = A \cdot \sin \theta\]
إن التحليل عملية معاكسة لمحصلة المتجهين. عند التحليل يجب تحديد إشارة كل مركبة حسب المحور الذي تسقط عليه
Resolution is the opposite process of vector resultant. When resolving, the sign of each component must be determined according to the axis on which it is projected
\[8 \star\]
المتجه \[A\] له نقطة بداية ونقطة نهاية. نقطة البداية إحداثياتها \[-5,-3]\، نقطة النهاية إحداثياتها \[5,1]\. حدد إحداثيات المتجه \[A\]
Vector \[A\] has a start point and an end point. The start point coordinates are \[-5,-3]\, the end point coordinates are \[5,1]\. Determine the coordinates of vector \[A\]
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[\vec A = +8 \hat{X} + 4 \hat{Y}\]
B
\[\vec A = +10 \hat{X} + 4 \hat{Y}\]
C
\[\vec A = +6 \hat{X} + 5 \hat{Y}\]
D
\[\vec A = +12 \hat{X} + 6 \hat{Y}\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
محصلة المتجهات في بعدين
Resultant of Vectors in Two Dimensions
جمع متجهين أو أكثر بطريقة الرسمAdding two or more vectors using the graphical method
ننقل أحد المتجهين حتى ينطبق ذيله على رأس المتجه الأول (مع المحافظة على المقدار والاتجاه) ثم نصل من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني، فتكون المحصلة المطلوبة
Move one vector until its tail coincides with the head of the first vector (keeping magnitude and direction), then connect from the tail of the first vector to the head of the second vector; this gives the required resultant
تستخدم هذه الطريقة لإيجاد محصلة أكثر من متجهين ولا يهم من ننقل أولا النتيجة واحدة
This method is used to find the resultant of more than two vectors, and it doesn't matter which one is moved first; the result is the same
محصلة طرح متجهين \[\vec A - \vec B\] بطريقة المثلث:
Resultant of subtracting two vectors \[\vec A - \vec B\] using the triangle method:
أولا نعكس اتجاه المطروح مكونين متجه \[-B\]، ثم نجري عملية الجمع \[A + (-B)\] كما تم معرفته سابقا
First, reverse the direction of the subtracted vector to form vector \[-B\], then perform the addition \[A + (-B)\] as previously learned
في هذه المحاكاة يمكن إيجاد حاصل جمع وحاصل طرح متجهين بالرسم
In this simulation, you can find the sum and difference of two vectors graphically
جمع وطرح المتجهات باستخدام المركبات
Adding and Subtracting Vectors Using Components
\[\vec A = (A_X, A_Y, A_Z)\]
\[\vec B = (B_X, B_Y, B_Z)\]
عندما يطلب أوجد \[\vec C = \vec A + \vec B\] طريقة الحل:
When asked to find \[\vec C = \vec A + \vec B\] the solution method is:
\[C_X = A_X + B_X\]
\[C_Y = A_Y + B_Y\]
\[C_Z = A_Z + B_Z\]
عندما يطلب أوجد \[\vec C = \vec A - \vec B\] طريقة الحل:
When asked to find \[\vec C = \vec A - \vec B\] the solution method is:
\[C_X = A_X - B_X\]
\[C_Y = A_Y - B_Y\]
\[C_Z = A_Z - B_Z\]
ضرب متجه في كمية قياسية
Multiplying a Vector by a Scalar
عندما يتم ضرب كمية قياسية في متجه، الناتج كمية متجهة. هناك حالتين:
When a scalar is multiplied by a vector, the result is a vector quantity. There are two cases:
الحالة الأولى: إذا كانت الكمية القياسية موجبة فإن ناتج الضرب كمية متجهة باتجاه الكمية المتجهة الأولى
Case 1: If the scalar is positive, the product is a vector in the same direction as the original vector
مثال: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] أوجد
\[ 2\vec A\]
Example: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] find \[2\vec A\]
\[2\vec A = (4\hat{x}, 8\hat{y}, -4\hat{z})\] وله نفس اتجاه المتجه and has the same direction as the vector
الحالة الثانية: إذا كانت الكمية القياسية سالبة فإن ناتج الضرب كمية متجهة عكس اتجاه الكمية المتجهة الأولى
Case 2: If the scalar is negative, the product is a vector in the opposite direction of the original vector
مثال: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] أوجد
\[- 2\vec A\]
Example: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] find \[-2\vec A\]
\[-2\vec A = (-4\hat{x}, -8\hat{y}, 4\hat{z})\] وله اتجاه عكس المتجه الأول and has the opposite direction to the original vector
متجهات الوحدة
Unit Vectors
هي متجهات طولها 1 موجودة على المحاور
They are vectors of length 1 located on the axes
طول واتجاه المتجه
Magnitude and Direction of a Vector
إذا تم معرفة مركبات متجه فإننا نستطيع أن نحدد طوله واتجاهه
If the components of a vector are known, we can determine its magnitude and direction
مثال: المتجه \[A = 60\] ويصنع زاوية
\[20^\circ\] شمال الشرق. إن المتجه له مركبتان:
Example: Vector \[A = 60\] makes an angle of \[20^\circ\] north of east. This vector has two components:
\[A_X = A \cos \theta = 60 \cos 20^\circ = 56.38\]
\[A_Y = A \sin \theta = 60 \sin 20^\circ = 20.52\]
فيتم كتابة المتجه بالشكل \[A(56.38\hat{x}, 20.52\hat{y})\]
So the vector is written as \[A(56.38\hat{x}, 20.52\hat{y})\]
\[A = \sqrt{56.38^2 + 20.52^2} = 60\]
أما الاتجاه: As for the direction: \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{20.52}{56.38}\right) = 20^\circ\]
الضرب القياسي للمتجهات
Dot Product of Vectors
الشغل كمية قياسية وهو ناتج حاصل ضرب متجه القوة في متجه الإزاحة \[W = |\vec F| \cdot |\vec d| \cos \theta\] ويعرف الضرب القياسي
Work is a scalar quantity and is the product of the force vector and the displacement vector \[W = |\vec F| \cdot |\vec d| \cos \theta\]. This is known as the dot product
مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين
The magnitude of the first vector times the magnitude of the second vector times the cosine of the angle between them
\[\vec A \cdot \vec B = |\vec A| \cdot |\vec B| \cos \theta\]
الضرب القياسي في ثلاث أبعاد
Dot Product in Three Dimensions
إذا كان \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\] و \[\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
If \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\] and \[\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
\[\vec A \cdot \vec B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\]
خصائص الضرب القياسي:
Properties of dot product:
- إبدالي: \[\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A\]
- Commutative: \[\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A\]
- توزيعي: \[\vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C\]
- Distributive: \[\vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C\]
- إذا كان المتجهان متعامدين: \[\vec A \cdot \vec B = 0\]
- If the vectors are perpendicular: \[\vec A \cdot \vec B = 0\]
مثال تطبيقي: ليكن \[\vec A = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\]، \[\vec B = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\]
Applied example: Let \[\vec A = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\], \[\vec B = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\]
\[\vec A \cdot \vec B = (3 \times 1) + (4 \times -2) + (5 \times 2) = 3 - 8 + 10 = 5\]
\[9 \star\]
\[\vec A = 2\hat{x} + 3\hat{y} + 4\hat{z}\]، \[\vec B = \hat{x} - 2\hat{y} + 3\hat{z}\] أوجد الزاوية بين المتجهين
\[\vec A = 2\hat{x} + 3\hat{y} + 4\hat{z}\], \[\vec B = \hat{x} - 2\hat{y} + 3\hat{z}\] Find the angle between the vectors
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
A
\[\theta = 54.7^\circ\]
B
\[\theta = 30.4^\circ\]
C
\[\theta = 73.8^\circ\]
D
\[\theta = 66.6^\circ\]
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
الضرب الاتجاهي للمتجهات
Cross Product of Vectors
القوة المغناطيسية كمية متجهة وهي ناتج حاصل ضرب مقدار الشحنة في متجه السرعة في متجه المجال المغناطيسي \[\vec F_B = q |\vec v| |\vec B| \sin \theta\] ويعرف الضرب الاتجاهي
Magnetic force is a vector quantity and is the product of charge magnitude, velocity vector, and magnetic field vector \[\vec F_B = q |\vec v| |\vec B| \sin \theta\]. This is known as the cross product
مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب الزاوية المحصورة بين المتجهين، والناتج كمية متجهة يتم تحديدها من خلال الشكل
The magnitude of the first vector times the magnitude of the second vector times the sine of the angle between them, and the result is a vector quantity whose direction is determined by the right-hand rule
\[\vec A \times \vec B = |\vec A| |\vec B| \sin \theta\]
الضرب الاتجاهي في ثلاث أبعاد
Cross Product in Three Dimensions
إذا كان \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\] و \[\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
If \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\) and \(\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
\[\vec A \times \vec B =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z
\end{vmatrix}
= \hat{i}(A_y B_z - A_z B_y) - \hat{j}(A_x B_z - A_z B_x) + \hat{k}(A_x B_y - A_y B_x)\]
مثال تطبيقي: لنفرض أن \[\vec A = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\]، \[\vec B = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}\]
Applied example: Let \[\vec A = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\], \[\vec B = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}\]
\[\vec A \times \vec B = \hat{i}(2 \times 6 - 1 \times 5) - \hat{j}(3 \times 6 - 1 \times 4) + \hat{k}(3 \times 5 - 2 \times 4)\]
\[= \hat{i}(12 - 5) - \hat{j}(18 - 4) + \hat{k}(15 - 8)\]
\[= 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}\]
خصائص الضرب الاتجاهي:
Properties of cross product:
- النتيجة متجه عمودي على المستوى الممتد من المتجهين الأصليين
- The result is a vector perpendicular to the plane containing the original vectors
- الاتجاه يُحدد بقاعدة اليد اليمنى
- The direction is determined by the right-hand rule
- ضرب اتجاهي عكسي: \[\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A)\]
- Anti-commutative: \[\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A)\]
ميكانيكا الجسيمات النقطية Particle Mechanics |
لماذا نستخدم الترميز العلمي
Why do we use scientific notation?
تم تطوير الترميز العلمي من أجل تمثيل الأرقام التي تكون إما كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا بسهولة
Scientific notation was developed to easily represent numbers that are either very large or very small
(5972000000000000000000000 kg) كتلة الأرض تعادل تقريبا
Earth's mass is approximately (5972000000000000000000000 kg)
(5.972 × 1000000000000000000000000) من الممكن كتابة كتلة الأرض على النحو التالي
Earth's mass can be written as (5.972 × 1000000000000000000000000)
العدد 1000000000000000000000000 هو الذي يسبب مشكلة فهو من مضاعفات العشرة
The number 1000000000000000000000000 is the problem - it's a multiple of ten
\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\]
\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\]
تكتب بالترميز العلمي
Written in scientific notation
\[10 = 10^1 \;,\; 10 \times 10 = 10^2 \;,\; 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 ...\]
فيكون العدد المسبب للمشكلة بالترميز العلمي
So the problematic number in scientific notation is
\[10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{24}\]
\[5.972 \times 10^{24}\]
(0.00000000000000000016 C) من ناحية أخرى شحنة الإلكترون تعادل
On the other hand, the electron charge is (0.00000000000000000016 C)
(1.6 ÷ 10000000000000000000) من الممكن كتابة شحنة الإلكترون على النحو التالي
The electron charge can be written as (1.6 ÷ 10000000000000000000)
\[\frac{1}{10} = 10^{-1} \;,\; \frac{1}{100} = 10^{-2} \;,\; \frac{1}{100000} = 10^{-5} \;...\]
فيكون العدد المسبب للمشكلة بالترميز العلمي
So the problematic number in scientific notation is
\[\frac{1}{10000000000000000000} = 10^{-19}\]
فتكتب شحنة الإلكترون بالترميز العلمي
Thus the electron charge is written in scientific notation as
\[q = 1.6 \times 10^{-19} C\]
قيم نفسك
Test Yourself
رقم المحاولةAttempt No. |
قيمة المقدار الفيزيائيPhysical Quantity Value |
كتابة المقدار بالترميز العلميScientific Notation |
1 |
الضغط داخل عمق البحرPressure at sea depth \[98700000 pa\] |
\[p = \dots\] |
2 |
شحنة كرة من الحديدCharge of an iron ball \[0.0000007 C\] |
\[q = \dots\] |
3 |
سرعة الضوء في الفراغSpeed of light in vacuum \[300000000 \frac{m}{s}\] |
\[c = \dots\] |
4 |
نصف قطر الذرة يعادل تقريباAtomic radius is approximately \[0.0000000025 m\] |
\[r = \dots\] |
هي الأرقام القابلة للقياس بوساطة أجهزة القياس وتحتوي على أرقام حقيقية وأرقام تقديرية
They are numbers that can be measured by measuring instruments and contain real and estimated digits
مثال طول القلم يتم قياسه بوساطة المسطرة (بوساطة جهاز) فهو رقم معنوي
Example: The length of a pen measured with a ruler is a significant figure
أما عدد طلاب الصف العاشر فهو رقم غير معنوي لم يتم قياسه بجهاز
While the number of 10th-grade students is a non-significant figure (not measured by a device)
(13.85 Cm) طول القلم
Pen length (13.85 cm)
(13.8 Cm) هو رقم حقيقي جميع الطلاب تكون لهم نفس القراءة
(13.8 cm) is the real number that all students would read the same
(5) فهو رقم تم تقديره ويختلف من طالب إلى آخر
(5) is the estimated number that varies from student to student
مثال محلول: هذا الجهاز يدعى الجلفانوميتر يستخدم لقياس شدة التيار وفرق الجهد. الآن يستخدم لقياس شدة التيار. كم قياس شدة التيار؟
Solved example: This device is called a galvanometer, used to measure current and voltage. It is now used to measure current. What is the current reading?
(2.3) القراءة
Reading (2.3)
لاحظ عدد الأرقام المعنوية رقمين
Note that the number of significant figures is two
القاعدة الأولى: جميع الأرقام غير الصفرية هي أرقام معنوية
Rule 1: All non-zero digits are significant
مثال: 3.46 يتكون من ثلاث أرقام معنوية
Example: 3.46 has three significant figures
القاعدة الثانية: الأصفار على يسار العدد ليست أرقام معنوية
Rule 2: Zeros to the left of the number are not significant
مثال: 0.00034 يتكون من رقمين معنويين (3,4)
Example: 0.00034 has two significant figures (3,4)
القاعدة الثالثة: الأصفار على يمين العدد ليست أرقام معنوية
Rule 3: Zeros to the right of the number are not significant
مثال: 5800 يتكون من رقمين معنويين (5,8)
Example: 5800 has two significant figures (5,8)
القاعدة الرابعة: الأصفار بين الأعداد تعتبر أرقام معنوية
Rule 4: Zeros between numbers are significant
مثال: 5003 يتكون من أربع أرقام معنوية (5,0,0,3)
Example: 5003 has four significant figures (5,0,0,3)
القاعدة الخامسة: الأصفار بعد الفاصلة تعتبر أرقام معنوية
Rule 5: Zeros after the decimal point are significant
مثال: 6.00 يتكون من ثلاث أرقام معنوية (6,0,0)
Example: 6.00 has three significant figures (6,0,0)
قيم نفسك
Test Yourself
رقم المحاولةAttempt No. | الرقم المقاس بالجهازMeasured Number |
عدد الأرقام المعنويةNumber of Significant Figures |
1 |
0.00520 |
\[..............\] |
2 |
2010 |
\[..............\] |
3 |
2,000 |
\[..............\] |
4 |
98790 |
\[..............\] |
باستخدام قواعد الأرقام المعنوية والترميز العلمي فإن ناتج الضرب التالي للأرقام المعنوية هو \[ 50.4 \times 310 = \dots\]
Using the rules of significant figures and scientific notation, the product of the following significant figures is \[ 50.4 \times 310 = \dots\]
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
باستخدام قواعد الأرقام المعنوية والترميز العلمي أوجد ناتج \[ 5.63 + 15.1 + 14 = \dots\]
Using the rules of significant figures and scientific notation, find the result of \[ 5.63 + 15.1 + 14 = \dots\]
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
وهي عبارة عن مضاعفات وأجزاء وحدات القياس
They are multiples and submultiples of units of measurement
الجدول التالي يبين البادئات
The following table shows the prefixes
حدد قيم البادئات Play and Learn
Identify the prefix values
معامل التحويل
Conversion Factor
نلاحظ أن مثلا \(k = 10^3\)
Note that for example \(k = 10^3\)
لذلك \[\frac{10^3}{k} = \frac{k}{10^3} = 1\]
Therefore \[\frac{10^3}{k} = \frac{k}{10^3} = 1\]
هذا ما يسمى بمعامل التحويل
This is called the conversion factor
مثال محلول: المسافة من دبي إلى الرياض 6.3 ميجا متر فكم المسافة بوحدة المتر
Solved example: The distance from Dubai to Riyadh is 6.3 megameters. What is the distance in meters?
\[6.3 Mm \times \frac{10^6 m}{Mm} = 6.3 \times 10^6 m\]
مثال محلول: حول 16.4 ميلي جرام إلى وحدة الكيلو جرام
Solved example: Convert 16.4 milligrams to kilograms
\[16.4 mg \times \frac{10^{-3} g}{mg} \times \frac{kg}{10^3 g} = 16.4 \times 10^{-3} \times 10^{-3} = 16.4 \times 10^{-6} kg\]
أي مما يلي يساوي
\[5\;km\]
Which of the following equals
\[5\;km\]
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
أي مما يلي يساوي
\[5\; \mu s\]
Which of the following equals
\[5\; \mu s\]
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
المقاييس في عالمنا
Measurements in Our World
مقاييس الطول
Length Measurements
الطول: هي عبارة عن المسافة بين نقطتين في الفضاء
Length: is the distance between two points in space
نستخدم البادئات لقياس الأطوال بالمضاعفات والأجزاء
وهناك وحدات قياس شائعة يتم استخدامها مثل البوصة والقدم والميل
We use prefixes to measure lengths in multiples and submultiples
There are common units used such as inch, foot, and mile
\[1 \text{ in} = 2.54 \text{ cm} ,\quad 1 \text{ cm} = 0.393 \text{ in}\]
\[1 \text{ foot} = 0.3048 \text{ m} ,\quad 1 \text{ m} = 3.28 \text{ foot}\]
\[1 \text{ mile} = 1609 \text{ m} ,\quad 1 \text{ m} = 6.215 \times 10^{-4} \text{ mile}\]
ونستخدم الوحدة الفلكية لقياس المسافات الطويلة
We use the astronomical unit to measure long distances
\[1 \text{ AU} = 1.49598 \times 10^{11} \text{ m}\]
ونستخدم الوحدة السنة الضوئية لقياس المسافات خارج نظامنا الشمسي
We use the light-year unit to measure distances outside our solar system
\[1 \text{ Light-Year} = 1 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \times 3 \times 10^8 = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}\]
مقاييس الكتلة
Mass Measurements
الكتلة: وهي عبارة عن مقدار المادة الموجودة في الجسم
Mass: is the amount of matter in an object
يستخدم لقياس الكتلة وحدة أساسية وهي الكيلو جرام وتستخدم لقياس الكتل الصغيرة جدا مثل كتلة الإلكترون
The basic unit used to measure mass is the kilogram, and it is used to measure very small masses such as the electron mass
\[m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\]
ونستخدم وحدة الكيلو جرام لقياس الكتل الضخمة مثلا كتلة الأرض
We also use the kilogram to measure huge masses, for example the Earth's mass
\[m_{\text{earth}} = 6 \times 10^{24} \text{ kg}\]
مقاييس الزمن
Time Measurements
الزمن: وهو المدة الفاصلة بين حدثين
Time: is the interval between two events
نستخدم وحدة قياس الثانية كوحدة دولية
We use the second as the international unit
وإذا كانت الفترات الزمنية طويلة نستخدم الدقيقة والساعة واليوم والسنة والقرن
If time periods are long, we use minutes, hours, days, years, and centuries
\[1 \text{ min} = 60 \text{ s}\]
\[1 \text{ hour} = 60 \times 60 = 3600 \text{ s}\]
\[1 \text{ Day} = 24 \times 60 \times 60 = 86.4 \times 10^3 \text{ s}\]
\[1 \text{ year} = 1 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 = 31.557 \times 10^6 \text{ s}\]
\[1 \text{ century} = 1 \times 100 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 = 31.557 \times 10^8 \text{ s}\]
طول أحمد \(( \[4 \text{ foot}, 20 \text{ in}\] كم طول أحمد بوحدة المتر
Ahmed's height is \[4 \text{ feet}, 20 \text{ inches}\]. What is Ahmed's height in meters?
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
سرعة سيارة \[65 \text{ mil/h}\] فإن سرعة السيارة بوحدة \[m/s\]تعادل
A car's speed is \[65 \text{ miles/h}\]. The car's speed in \[m/s\] equals
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
يتم تخزين وقود الطائرات في أسطوانة ارتفاعها \[82.6 \text{ in}\] ومحيطها \( \[249 \text{ in}\] فإن حجم الوقود بالوحدة المترية تعادل
Aircraft fuel is stored in a cylinder with height \[82.6 \text{ in}\] and circumference \[249 \text{ in}\]. The fuel volume in metric units is
اختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
المتجهات في بعدين
Vectors in Two Dimensions
تقسم الكميات الفيزيائية إلى نوعينPhysical quantities are divided into two types
النوع الأول: كميات قياسيةType 1: Scalar quantities
تتحدد بمعرفة مقدارها فقطDetermined only by their magnitude
مثال: المسافة - الكتلة - الحجم - الزمنExample: distance - mass - volume - time
النوع الثاني: كميات متجهةType 2: Vector quantities
تتحدد بمعرفة مقدارها واتجاههاDetermined by both magnitude and direction
مثال: الإزاحة - السرعة - التسارع - القوةExample: displacement - velocity - acceleration - force
الإحداثيات الديكارتية
Cartesian Coordinates
لتحديد موضع نقطة على مستوى ثنائي الأبعاد، نستخدم رقمين تسمى الإحداثيات الديكارتية
To locate a point in a two-dimensional plane, we use two numbers called Cartesian coordinates
الرقم الأول مدى المسافة على طول المحور الأفقي
The first number is the distance along the horizontal axis
الرقم الثاني مدى المسافة على طول المحور الرأسي \[12.5, 5\]
The second number is the distance along the vertical axis \[12.5, 5\]
لتحديد موضع نقطة على مستوى ثلاثي الأبعاد، نستخدم ثلاث أرقام تسمى الإحداثيات الديكارتية \[P_X, P_Y, P_Z\]
To locate a point in three-dimensional space, we use three numbers called Cartesian coordinates \[P_X, P_Y, P_Z\]
الرقم الأول مدى المسافة على طول المحور الأفقي \[X\]
The first number is the distance along the horizontal axis \[X\]
الرقم الثاني مدى المسافة على طول المحور الرأسي \[Y\]
The second number is the distance along the vertical axis \[Y\]
الرقم الثالث مدى المسافة على المحور العمودي على المحورين الأول والثاني \[Z\]
The third number is the distance along the axis perpendicular to the first two axes \[Z\]
التحليل لإيجاد الإحداثيات
Resolution to Find Components
هي عملية إسقاط المتجه على المحور الأفقي وعلى المحور الرأسي وتحويل المتجه الواحد إلى مركبتين تعادلان هذا المتجه
It is the process of projecting a vector onto the horizontal axis and vertical axis, converting a single vector into two components that are equivalent to this vector
\[A_X = A \cdot \cos \theta\]
\[A_Y = A \cdot \sin \theta\]
إن التحليل عملية معاكسة لمحصلة المتجهين. عند التحليل يجب تحديد إشارة كل مركبة حسب المحور الذي تسقط عليه
Resolution is the opposite process of vector resultant. When resolving, the sign of each component must be determined according to the axis on which it is projected
المتجه \[A\] له نقطة بداية ونقطة نهاية. نقطة البداية إحداثياتها \[-5,-3]\، نقطة النهاية إحداثياتها \[5,1]\. حدد إحداثيات المتجه \[A\]
Vector \[A\] has a start point and an end point. The start point coordinates are \[-5,-3]\, the end point coordinates are \[5,1]\. Determine the coordinates of vector \[A\]
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
محصلة المتجهات في بعدين Resultant of Vectors in Two Dimensions
جمع متجهين أو أكثر بطريقة الرسمAdding two or more vectors using the graphical method
ننقل أحد المتجهين حتى ينطبق ذيله على رأس المتجه الأول (مع المحافظة على المقدار والاتجاه) ثم نصل من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني، فتكون المحصلة المطلوبة Move one vector until its tail coincides with the head of the first vector (keeping magnitude and direction), then connect from the tail of the first vector to the head of the second vector; this gives the required resultant
تستخدم هذه الطريقة لإيجاد محصلة أكثر من متجهين ولا يهم من ننقل أولا النتيجة واحدة
This method is used to find the resultant of more than two vectors, and it doesn't matter which one is moved first; the result is the same
محصلة طرح متجهين \[\vec A - \vec B\] بطريقة المثلث: Resultant of subtracting two vectors \[\vec A - \vec B\] using the triangle method:
أولا نعكس اتجاه المطروح مكونين متجه \[-B\]، ثم نجري عملية الجمع \[A + (-B)\] كما تم معرفته سابقا First, reverse the direction of the subtracted vector to form vector \[-B\], then perform the addition \[A + (-B)\] as previously learned
في هذه المحاكاة يمكن إيجاد حاصل جمع وحاصل طرح متجهين بالرسم
In this simulation, you can find the sum and difference of two vectors graphically
\[\vec A = (A_X, A_Y, A_Z)\]
\[\vec B = (B_X, B_Y, B_Z)\]
عندما يطلب أوجد \[\vec C = \vec A + \vec B\] طريقة الحل:
When asked to find \[\vec C = \vec A + \vec B\] the solution method is:
\[C_X = A_X + B_X\]
\[C_Y = A_Y + B_Y\]
\[C_Z = A_Z + B_Z\]
عندما يطلب أوجد \[\vec C = \vec A - \vec B\] طريقة الحل:
When asked to find \[\vec C = \vec A - \vec B\] the solution method is:
\[C_X = A_X - B_X\]
\[C_Y = A_Y - B_Y\]
\[C_Z = A_Z - B_Z\]
عندما يتم ضرب كمية قياسية في متجه، الناتج كمية متجهة. هناك حالتين:
When a scalar is multiplied by a vector, the result is a vector quantity. There are two cases:
الحالة الأولى: إذا كانت الكمية القياسية موجبة فإن ناتج الضرب كمية متجهة باتجاه الكمية المتجهة الأولى
Case 1: If the scalar is positive, the product is a vector in the same direction as the original vector
مثال: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] أوجد \[ 2\vec A\]
Example: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] find \[2\vec A\]
\[2\vec A = (4\hat{x}, 8\hat{y}, -4\hat{z})\] وله نفس اتجاه المتجه and has the same direction as the vector
الحالة الثانية: إذا كانت الكمية القياسية سالبة فإن ناتج الضرب كمية متجهة عكس اتجاه الكمية المتجهة الأولى
Case 2: If the scalar is negative, the product is a vector in the opposite direction of the original vector
مثال: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] أوجد \[- 2\vec A\]
Example: \[\vec A = (2\hat{x}, 4\hat{y}, -2\hat{z})\] find \[-2\vec A\]
\[-2\vec A = (-4\hat{x}, -8\hat{y}, 4\hat{z})\] وله اتجاه عكس المتجه الأول and has the opposite direction to the original vector
هي متجهات طولها 1 موجودة على المحاور
They are vectors of length 1 located on the axes
إذا تم معرفة مركبات متجه فإننا نستطيع أن نحدد طوله واتجاهه
If the components of a vector are known, we can determine its magnitude and direction
مثال: المتجه \[A = 60\] ويصنع زاوية \[20^\circ\] شمال الشرق. إن المتجه له مركبتان:
Example: Vector \[A = 60\] makes an angle of \[20^\circ\] north of east. This vector has two components:
\[A_X = A \cos \theta = 60 \cos 20^\circ = 56.38\]
\[A_Y = A \sin \theta = 60 \sin 20^\circ = 20.52\]
فيتم كتابة المتجه بالشكل \[A(56.38\hat{x}, 20.52\hat{y})\]
So the vector is written as \[A(56.38\hat{x}, 20.52\hat{y})\]
\[A = \sqrt{56.38^2 + 20.52^2} = 60\]
أما الاتجاه: As for the direction: \[\theta = \tan^{-1}\left(\frac{20.52}{56.38}\right) = 20^\circ\]
الشغل كمية قياسية وهو ناتج حاصل ضرب متجه القوة في متجه الإزاحة \[W = |\vec F| \cdot |\vec d| \cos \theta\] ويعرف الضرب القياسي
Work is a scalar quantity and is the product of the force vector and the displacement vector \[W = |\vec F| \cdot |\vec d| \cos \theta\]. This is known as the dot product
مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين
The magnitude of the first vector times the magnitude of the second vector times the cosine of the angle between them
\[\vec A \cdot \vec B = |\vec A| \cdot |\vec B| \cos \theta\]
الضرب القياسي في ثلاث أبعاد
Dot Product in Three Dimensions
إذا كان \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\] و \[\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
If \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\] and \[\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
\[\vec A \cdot \vec B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\]
خصائص الضرب القياسي:
Properties of dot product:
- إبدالي: \[\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A\]
- Commutative: \[\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A\]
- توزيعي: \[\vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C\]
- Distributive: \[\vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C\]
- إذا كان المتجهان متعامدين: \[\vec A \cdot \vec B = 0\]
- If the vectors are perpendicular: \[\vec A \cdot \vec B = 0\]
مثال تطبيقي: ليكن \[\vec A = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\]، \[\vec B = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\]
Applied example: Let \[\vec A = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}\], \[\vec B = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\]
\[\vec A \cdot \vec B = (3 \times 1) + (4 \times -2) + (5 \times 2) = 3 - 8 + 10 = 5\]
\[\vec A = 2\hat{x} + 3\hat{y} + 4\hat{z}\]، \[\vec B = \hat{x} - 2\hat{y} + 3\hat{z}\] أوجد الزاوية بين المتجهين
\[\vec A = 2\hat{x} + 3\hat{y} + 4\hat{z}\], \[\vec B = \hat{x} - 2\hat{y} + 3\hat{z}\] Find the angle between the vectors
أختر الإجابة الصحيحة
Choose the correct answer
اضغط هنا تظهر طريقة الحل
Click here to show solution
القوة المغناطيسية كمية متجهة وهي ناتج حاصل ضرب مقدار الشحنة في متجه السرعة في متجه المجال المغناطيسي \[\vec F_B = q |\vec v| |\vec B| \sin \theta\] ويعرف الضرب الاتجاهي
Magnetic force is a vector quantity and is the product of charge magnitude, velocity vector, and magnetic field vector \[\vec F_B = q |\vec v| |\vec B| \sin \theta\]. This is known as the cross product
مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب الزاوية المحصورة بين المتجهين، والناتج كمية متجهة يتم تحديدها من خلال الشكل
The magnitude of the first vector times the magnitude of the second vector times the sine of the angle between them, and the result is a vector quantity whose direction is determined by the right-hand rule
\[\vec A \times \vec B = |\vec A| |\vec B| \sin \theta\]
الضرب الاتجاهي في ثلاث أبعاد
Cross Product in Three Dimensions
إذا كان \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\] و \[\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
If \[\vec A = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\) and \(\vec B = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}\]
\[\vec A \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = \hat{i}(A_y B_z - A_z B_y) - \hat{j}(A_x B_z - A_z B_x) + \hat{k}(A_x B_y - A_y B_x)\]
مثال تطبيقي: لنفرض أن \[\vec A = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\]، \[\vec B = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}\]
Applied example: Let \[\vec A = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\], \[\vec B = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}\]
\[\vec A \times \vec B = \hat{i}(2 \times 6 - 1 \times 5) - \hat{j}(3 \times 6 - 1 \times 4) + \hat{k}(3 \times 5 - 2 \times 4)\]
\[= \hat{i}(12 - 5) - \hat{j}(18 - 4) + \hat{k}(15 - 8)\]
\[= 7\hat{i} - 14\hat{j} + 7\hat{k}\]
خصائص الضرب الاتجاهي:
Properties of cross product:
- النتيجة متجه عمودي على المستوى الممتد من المتجهين الأصليين
- The result is a vector perpendicular to the plane containing the original vectors
- الاتجاه يُحدد بقاعدة اليد اليمنى
- The direction is determined by the right-hand rule
- ضرب اتجاهي عكسي: \[\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A)\]
- Anti-commutative: \[\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A)\]
No comments:
Post a Comment